《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 圆心角与弧、弦的关系:
①在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等;
②在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,所对的弦也相等;
③在同圆或等圆中,相等的弦所对的圆心角相等,所对的弧也相等

答案： 圆心角 弧 弦

2. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

答案： 相等

1. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AC}$,$∠C = 70^{\circ}$,则$∠B =$$70^{\circ}$,$∠A =$$40^{\circ}$.

答案： $70^{\circ}$ $40^{\circ}$

2. 如图,$AB$是$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$,$∠AOE = 84^{\circ}$,则$∠BOC$的度数为______$32^{\circ}$.

答案： $32^{\circ}$

3. 如图所示,在$\odot O$中,弦$AB = CD$,求证:$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BC}$.
证明：$\because AB = CD$，$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。即$\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{BD}$，$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。

答案： 证明：$\because AB = CD$，
$\therefore \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD}$。即$\overset{\frown}{AD} + \overset{\frown}{BD} = \overset{\frown}{BC} + \overset{\frown}{BD}$，
$\therefore \overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{BC}$。

4. 如图所示,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{CD}$,$∠AOC = 110^{\circ}$,求$∠BOD$的度数.

$110^{\circ}$

答案： $110^{\circ}$

5. (2025·河源模拟)如图,$AB$是$\odot O$的弦,点$C$是弧$AB$的中点.
(1)连接$OC$,求证:$OC$垂直平分$AB$;
(2)若$AB = 8$,$AC = 2\sqrt{5}$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1) 证明：$\because$点$C$是弧$AB$的中点，
$\therefore \overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，
$\therefore AC = BC$，
$\because OA = OB$，
$\therefore OC$垂直平分$AB$；
(2) 解：如图，设$OC$与$AB$交于点$D$，

由
(1)知，$OC$垂直平分$AB$，
$\therefore AD = \frac{1}{2}AB = 4$，$\angle ADC = \angle ADO = 90^{\circ}$，
$\because AC = 2\sqrt{5}$，
$\therefore CD = \sqrt{AC^{2} - AD^{2}} = \sqrt{(2\sqrt{5})^{2} - 4^{2}} = 2$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OD = r - 2$，$OA = r$，
$\because$在$Rt\triangle AOD$中，由勾股定理，得$AD^{2} + OD^{2} = OA^{2}$，即$4^{2} + (r - 2)^{2} = r^{2}$，
解得$r = 5$，
$\therefore \odot O$的半径为$5$。