《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 若$x_{1}$,$x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x + 2 = 0$的两根,则$x_{1}+x_{2}$的值为3, $x_{1}x_{2}=$2.

答案： 3 2

2. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{3}x - k = 0$有两个相等的实数根,则$k$的值为-3.

答案： -3 解析：方程有两个相等的实数根，则有 $ b ^ { 2 } - 4 a c = 0 $，即 $ ( 2 \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } - 4 ( - k ) = 0 $，解得 $ k = - 3 $。

3. 三角形的两边分别为2和6,第三边是方程$x^{2}-10x + 21 = 0$的解,则第三边的长为 (7)
A. 7
B. 3
C. 7或3
D. 无法确定

答案： A 解析：解一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 10 x + 21 = 0 $，得 $ x _ { 1 } = 3 $，$ x _ { 2 } = 7 $。根据三角形三边的关系，第三边还应满足 $ 4 ＜ x ＜ 8 $。
∴第三边的长应为 7。

4. 如图是一张长12dm,宽6dm的长方形纸板,将纸板四个角各剪去一个同样的边长为$x$dm的正方形,然后将四周突出部分折起,可制成一个无盖的长方体纸盒.
(1)无盖方盒盒底的长为(12-2x)dm,宽为(6-2x)dm(用含$x$的式子表示);
(2)若要制作一个底面积是$40dm^{2}$的无盖的长方体纸盒,求剪去的正方形边长.

答案：
(1) $ ( 12 - 2 x ) $ $ ( 6 - 2 x ) $
(2) 解：根据题意，得 $ ( 12 - 2 x ) ( 6 - 2 x ) = 40 $，
整理，得 $ x ^ { 2 } - 9 x + 8 = 0 $，
$ ( x - 1 ) ( x - 8 ) = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 1 $，$ x _ { 2 } = 8 $（不合题意，舍去），
∴剪去的正方形边长为 1 dm。

5. (2025·深圳一模)第九届亚洲冬季运动会于2025年2月在中国举办,亚冬会吉祥物一经开售,就深受大家的喜爱.某商店以每件45元的价格购进某款亚冬会吉祥物,以每件68元的价格出售.经统计,2024年12月份的销售量为256件,2025年1月份的销售量为400件.从2025年1月份起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经试验,发现该款吉祥物每降价1元,月销售量就会增加20件.设降价降了$x$元,请完成下列问题:
(1)降价$x$元后的月销售量为______(400+20x)件;(用含$x$的式子表示)
(2)当该款吉祥物降价多少元时,月销售利润达8400元?
解：降价降了 $ x $ 元，则每件的利润为 $ ( 68 - 45 - x ) $ 元，月销售量为 $ ( 400 + 20 x ) $ 件，
根据题意，得 $ ( 68 - 45 - x ) ( 400 + 20 x ) = 8400 $，
整理，得 $ x ^ { 2 } - 3 x - 40 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 8 $，$ x _ { 2 } = - 5 $（不合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价8元时，月销售利润达 8400 元。

答案：
(1) $ ( 400 + 20 x ) $
(2) 解：降价降了 $ x $ 元，则每件的利润为 $ ( 68 - 45 - x ) $ 元，月销售量为 $ ( 400 + 20 x ) $ 件，
根据题意，得 $ ( 68 - 45 - x ) ( 400 + 20 x ) = 8400 $，
整理，得 $ x ^ { 2 } - 3 x - 40 = 0 $，
解得 $ x _ { 1 } = 8 $，$ x _ { 2 } = - 5 $（不合题意，舍去），
答：当该款吉祥物降价 8 元时，月销售利润达 8400 元。