《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 点和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则：
①点P在圆外⇨d＞r；
②点P在圆上⇨d=r；
③点P在圆内⇨d＜r.

答案： 1. ＞ = ＜

2. ①过△ABC三个顶点的圆叫△ABC的外接圆；
②三角形外接圆的圆心叫三角形的外心；
③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，是三角形三边垂直平分线的交点.

答案： 2. 外接圆 外心 相等 垂直平分线

1. 若⊙O的半径为9cm，平面上有一点M，OM=6cm，则点M与⊙O的位置关系是 （C）
A. 点M在⊙O外
B. 点M在⊙O上
C. 点M在⊙O内
D. 不能确定

答案： 1. C

2. 下列有关圆的一些结论：①任意三点可以确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；④圆内接四边形对角互补；⑤三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑥直角三角形的内心在斜边的中点上. 正确的个数是 （B）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： 2. B

3. 若⊙A的半径为5，点A的坐标为(3，4)，点P的坐标为(5，8)，则点P的位置为 （A）
A. 在⊙A内
B. 在⊙A上
C. 在⊙A外
D. 不确定

答案： 3. A 解析：
∵ $ AP = \sqrt{(5 - 3)^2 + (8 - 4)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} ＜ 5 $，
∴点P在圆内.故选A.

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为 （A）
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm

答案： 4. A 解析：$ AB = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ cm} $，它的外心是斜边中点，外心与顶点C的距离是斜边的中线长的一半为 $ \frac{1}{2}AB = 5 \text{ cm} $.故选A.

5. 如图，在△ABC中，AB=AC.
(1)请用尺规作图法作出△ABC的外接圆O(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若BC=8，∠C=30°，求此外接圆的半径.

答案：
5. 解：
(1)如图，$ \odot O $ 即为所求；

(2)连接AO，交BC于E，连接OB.
∵ $ AB = AC $，
∴ $ \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AC} $，
∵ $ OA \perp BC $，
∴ $ BE = EC = \frac{1}{2}BC = 4 $，
∵ $ \angle ABC = \angle C = 30^\circ $，
∴ $ \angle BAO = 60^\circ $，
∵ $ OA = OB $，
∴ $ \triangle AOB $ 是等边三角形，
∴ $ AE = OE = 4 × \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $，
∴ $ OA = 2AE = \frac{8\sqrt{3}}{3} $，
∴ $ \triangle ABC $ 的外接圆的半径为 $ \frac{8\sqrt{3}}{3} $.