《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 利用二次函数解决利润问题主要涉及两个等量关系:
利润=售价 - 进价;
总利润=单件商品的利润×销售量.

答案： 1.售价 - 进价
单件商品的利润×销售量

1. 某种商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元).设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数解析式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)每件商品的售价定为多少时每个月可获得最大利润?最大利润是多少?

答案： 1. 解:
(1)根据题意得 $ y = (60 - 50 + x)(200 - 10x) $，
整理，得 $ y = -10x^{2} + 100x + 2000(0 ＜ x \leq 12) $；
(2)由
(1)得 $ y = -10x^{2} + 100x + 2000 = -10(x - 5)^{2} + 2250 $，当 $ x = 5 $ 时，最大月利润 $ y $ 为 2250 元。

2. (2025·南通一模)销售纪念品,每个纪念品进价40元,规定销售单价不低于44元,且不高于52元.销售期间发现,当销售单价定为44元时,每天可售出300个,销售单价每上涨1元,每天销量减少10个.现商家决定提价销售,设每天销售量为y个,销售单价为x元.
(1)直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围;
(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时,商家每天获利w最大?最大利润是多少?
(3)商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时,纪念品的销售单价在什么范围?

答案： 2. 解:
(1)根据题意得 $ y = 300 - 10(x - 44) = -10x + 740 $，
$\therefore y$ 与 $ x $ 之间的函数关系式为 $ y = -10x + 740(44 \leq x \leq 52) $；
(2)根据题意得 $ w = (-10x + 740)(x - 40) = -10x^{2} + 1140x - 29600 = -10(x - 57)^{2} + 2890 $，
$\because -10 ＜ 0$，
$\therefore$ 当 $ x ＜ 57 $ 时，$ w $ 随 $ x $ 的增大而增大，
$\because 44 \leq x \leq 52$，
$\therefore$ 当 $ x = 52 $ 时，$ w $ 有最大值，最大值为 $ w = -10(52 - 57)^{2} + 2890 = 2640 $ 元，
$\therefore$ 将纪念品的销售单价定为 52 元时，商家每天销售纪念品获得的利润 $ w $ 元最大，最大利润是 2640 元；
(3)$\because$ 利润不低于 2250 元，且 $ 44 \leq x \leq 52 $，$ w $ 随 $ x $ 的增大而增大，
由 $ -10(x - 57)^{2} + 2890 = 2250 $，解得 $ x_{1} = 65 $ 或 $ x_{2} = 49 $，
$\therefore 49 \leq x \leq 52$。