《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 抛物线$y = a(x - h)^2 + k$与$y = ax^2$形状相同，位置不同，把抛物线$y = ax^2$向上(下)平移$|k|$个单位长度，向右(左)平移$|h|$个单位长度，可以得到抛物线$y = a(x - h)^2 + k$。

答案： $y = ax^2$ $y = ax^2$ $|k|$ $|h|$

2. 二次函数$y = a(x - h)^2 + k$的性质：
①顶点坐标：$(h, k)$，所以我们称$y = a(x - h)^2 + k$为顶点式；
②对称轴：直线$x = h$；
③增减性：
当$a ＞ 0$，$x ＞ h$时，$y$随着$x$的增大而增大；当$a ＞ 0$，$x ＜ h$时，$y$随着$x$的增大而减小；
当$a ＜ 0$，$x ＞ h$时，$y$随着$x$的增大而减小；当$a ＜ 0$，$x ＜ h$时，$y$随着$x$的增大而增大；
④最值：
当$a ＞ 0$，$x =$$h$时，$y$有最小值为$k$；
当$a ＜ 0$，$x =$$h$时，$y$有最大值为$k$。

答案： ①$(h, k)$ ②直线$x = h$ ④$h$ 小 $k$ $h$ 大 $k$

1. 在同一直角坐标系中，画出函数$y = 2(x - 2)^2 - 3$的图象：
| $x$ | | | | | | |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $y = 2(x - 2)^2 - 3$ | | | | | | |
观察$y = 2(x - 2)^2 - 3$的图象，填写下列各题：
(1)开口方向向上；
(2)对称轴直线$x = 2$；(3)顶点坐标$(2, - 3)$；
(4)当$x ＜ 2$时，$y$随$x$的增大而减小；
(5)当$x$$= 2$时，$y = - 3$；
(6)当$x$$= 2$时，$y$有最小值是$- 3$；
(7)抛物线$y = 2(x - 2)^2 - 3$是由抛物线$y = 2x^2$先向右平移$2$个单位，再向下平移$3$个单位得到的；
(8)将抛物线$y = 3x^2$向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为$y = 3(x + 2)^2 + 3$。

答案： 图表略；
(1)向上；
(2)直线$x = 2$；
(3)$(2, - 3)$；
(4)减小；
(5)$= 2$；
(6)$= 2$；小；$- 3$；
(7)右；$2$；下；$3$；
(8)$y = 3(x + 2)^2 + 3$

2. 二次函数$y = - 3(x - 2)^2 - 3$的开口方向和顶点坐标为 (B)
A. 向下，$(2,3)$
B. 向下，$(2, - 3)$
C. 向上，$(2, - 3)$
D. 向下，$( - 2, - 3)$

答案： B

3. 若直线$y = - 3x + m$经过第一、二、四象限，则抛物线$y = (x + m)^2 + 1$的顶点必在第二象限。

答案： 二

4. 已知点$A( - 2,y_1)$，$B( - 1,y_2)$均在二次函数$y = 3(x + 1)^2 - 7$的图象上，则$y_1$，$y_2$的大小关系是$y_1 ＞ y_2$。

答案： $y_1 ＞ y_2$

5. 已知抛物线$y = \frac{1}{4}(x + 2)^2 - 3$。
(1)该抛物线可以看成是由抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$经过怎样的平移得到的？由抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的
(2)若$- 3 ＜ x ＜ 2$，则$y$的取值范围为$- 3 \leq y ＜ 1$。

答案： 解：
(1)由抛物线$y = \frac{1}{4}x^2$向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的；
(2)$- 3 \leq y ＜ 1$