《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 用待定系数法求二次函数解析式的步骤：
（1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式；
（2）找点：找函数图象上的点；
（3）代入：把点代入函数解析式得到方程；
（4）求解方程；
（5）反代入：把求出的字母的值带入解析式.
2. 一般式：$y = ax^{2} + bx + c$. 若已知图象上三点或三对x，y的值，通常选择一般式.

答案： $y = ax^{2} + bx + c$

1. 抛物线$y = ax^{2}+3$的顶点坐标为$(-1,2)$，则抛物线的解析式为 （B）
A. $y = x^{2}+3$
B. $y = -x^{2}+3$
C. $y = -2x^{2}+3$
D. $y = 2x^{2}+3$

答案： B

2. 抛物线$y = 2x^{2}+x+m^{2}-1$经过原点，则m的值为$\pm 1$.

答案： $\pm 1$

3. 已知二次函数经过点$(1,1)$，$(-1,4)$，$(0,3)$，求这个二次函数解析式.

答案： 解：设二次函数解析式为$y = ax^{2} + bx + c$，
∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + c$过点$(0, 3)$，
∴ $c = 3$，
∴ $y = ax^{2} + bx + 3$，
∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + 3$过点$(1, 1)$，$(-1, 4)$，
∴ $\begin{cases}a + b + 3 = 1, \\ a - b + 3 = 4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -\dfrac{1}{2}, \\ b = -\dfrac{3}{2},\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y = -\dfrac{1}{2}x^{2} - \dfrac{3}{2}x + 3$。

4. 已知二次函数$y = ax^{2}+bx+c$的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.

解：∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + c$过点$(0, 3)$，
∴ $c = $3，
∴ $y = ax^{2} + bx + $3，
∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + 3$过点$(-1, 0)$，$(3, 0)$，
∴ $\begin{cases}a - b + 3 = 0, \\ 9a + 3b + 3 = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = $-1, \\ b = $2,\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y = $$-x^{2} + 2x + 3$。

答案： 解：
∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + c$过点$(0, 3)$，
∴ $c = 3$，
∴ $y = ax^{2} + bx + 3$，
∵ 二次函数$y = ax^{2} + bx + 3$过点$(-1, 0)$，$(3, 0)$，
∴ $\begin{cases}a - b + 3 = 0, \\ 9a + 3b + 3 = 0,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a = -1, \\ b = 2,\end{cases}$
∴ 二次函数的解析式为$y = -x^{2} + 2x + 3$。