《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 关于原点对称的点的特征:
①两个点关于原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点$ P(x,y) $关于原点的对称点为$ P' $$(-x,-y)$;
②第一象限内的点关于原点的对称点在第三象限,第二象限内的点关于原点的对称点在第四象限,坐标轴上的点关于原点的对称点仍在坐标轴上.
2. 关于$ x $轴对称的点的特征:
两个点关于$ x $轴对称时,它们的坐标中,$ x $相等,$ y $的符号相反,即点$ P(x,y) $关于$ x $轴的对称点为$ P' $$(x,-y)$.
3. 关于$ y $轴对称的点的特征:
两个点关于$ y $轴对称时,它们的坐标中,$ y $相等,$ x $的符号相反,即点$ P(x,y) $关于$ y $轴的对称点为$ P' $$(-x,y)$.

答案： 1. 相反 $(-x,-y)$ 第三象限 第四象限
2. $(x,-y)$ 3. $(-x,y)$

1. 点$ P(-1,3) $关于原点对称的点的坐标是$(1,-3)$,关于$ x $轴对称的点的坐标是$(-1,-3)$,关于$ y $轴对称的点的坐标是$(1,3)$.

答案： $(1,-3)$ $(-1,-3)$ $(1,3)$

2. 已知点$ P(b,2) $与点$ Q(-1,a) $关于原点对称,则$ a + b $的值是______-1.

答案： $-1$

3. 在平面直角坐标系中,点$ P(2,1) $关于原点对称的点在 (C)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

答案： C

4. 写出下列已知点关于原点$ O $的对称点的坐标:
$ A(3,0) $;$ B(0,-2) $;$ C(-1,4) $;$ D(-3,-2) $;$ E(2,3) $.

答案： $A'(-3,0)$；$B'(0,2)$；$C'(1,-4)$；$D'(3,2)$；$E'(-2,-3)$。

5. 如图,利用关于原点对称的点的坐标的特点,作出与$ \triangle ABC $关于原点对称的图形.

答案：
解：与$\triangle ABC$关于原点对称的$\triangle A'B'C'$，如下图所示。

6. 已知点$ P(x^{2}+2x,3) $在第二象限,且与点$ Q(x + 2,y) $关于原点对称,求$ x + 2y $的值.

答案： 解：根据题意，得$(x^{2}+2x)+(x+2)=0$，$y=-3$。
解方程$(x^{2}+2x)+(x+2)=0$，解得$x_{1}=-1$，$x_{2}=-2$。
当$x=-1$时，$x^{2}+2x=-1$，点$P(-1,-3)$在第二象限，符合题意；
当$x=-2$时，$x^{2}+2x=0$，与点$P$在第二象限矛盾，不合题意，舍去。
$\therefore x=-1$，$y=-3$，
$\therefore x+2y=-1-6=-7$。