《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 二次函数$y = ax^{2}+k$与$y = ax^{2}$的图象形状相同，只是位置不同. 二次函数$y = ax^{2}+k$的图象是由抛物线$y = ax^{2}$向上(或向下)平移$|k|$个单位长度得到的.

答案： $|k|$

2. 对于二次函数$y = ax^{2}+k$的性质，
①当$a ＜ 0$时，开口向下，有最大值；当$a ＞ 0$时，开口向上，有最小值；
②顶点坐标：$(0,k)$；
③对称轴：$y$轴；
④当$a ＞ 0$，$x ＞ 0$时，$y$随着$x$的增大而增大；
当$a ＞ 0$，$x$＜0时，$y$随着$x$的增大而减小；
当$a ＜ 0$，$x$＞0时，$y$随着$x$的增大而减小；
当$a ＜ 0$，$x$＜0时，$y$随着$x$的增大而增大.

答案： ②$(0,k)$ ③$y$轴 ④增大 $＜$ 减小 $＞$ $＜$ 增大

1. 抛物线$y = x^{2}+2025$的对称轴是 （A）
A. $y$轴
B. $x$轴
C. 直线$x = -2025$
D. 直线$x = 2025$

答案： A

2. 已知抛物线$y = (a+\frac{8}{5})^{2}-7$的图象开口向下，则$a$的取值范围是$a ＜ -\frac{8}{5}$.

答案： $a ＜ -\frac{8}{5}$

3. 已知二次函数$y = 4x^{2}+k$，其图象的顶点坐标为$(0,5)$.
(1)$k$的值为5；
(2)将其图象向下平移5个单位长度，可得到二次函数$y = 4x^{2}$的图象.

答案：
(1)5
(2)下 5

4. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
(1)$y = 2x^{2}+1$；向上，$y$轴，$(0,1)$(2)$y = -\frac{1}{2}x^{2}-1$；向下，$y$轴，$(0,-1)$
(3)$y = \sqrt{2}x^{2}-3$；向上，$y$轴，$(0,-3)$(4)$y = -6x^{2}+2$.向下，$y$轴，$(0,2)$

答案：
(1)向上，$y$轴，$(0,1)$；
(2)向下，$y$轴，$(0,-1)$；
(3)向上，$y$轴，$(0,-3)$；
(4)向下，$y$轴，$(0,2)$。

5. 已知抛物线$y = x^{2}+3$.
(1)该抛物线的对称轴是______，顶点坐标为______；
(2)在图中的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；
(3)若抛物线的顶点为点$A$，点$P$为抛物线上一点，$\triangle AOP$的面积为3，求点$P$的坐标.

答案：

(1)$y$轴；$(0,3)$；
解：( 2)如图所示；
(3)
∵点$A$是抛物线的顶点，
∴$A(0,3)$，
∴$OA = 3$，
∵$S_{\triangle AOP}=3$，
∴$\frac{1}{2}OA\cdot|x_{p}| = 3$，
解得$x_{p}=\pm2$，
当$x = 2$时，$y = 7$；当$x = -2$时，$y = 7$。
∴点$P$的坐标为$(2,7)$或$(-2,7)$。