《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 顶点式：$ y = a(x - h)^2 + k $（a，h，k 是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；已知图象的顶点或对称轴与最大（小）值，通常选择顶点式.
2. 交点式：$ y = a(x - x_1)(x - x_2) $（a，x₁，x₂ 是常数，a≠0），已知图象与 x 轴的交点坐标 x₁、x₂，通常选用交点式.

答案： 1. $ y = a(x - h)^2 + k $
2. $ y = a(x - x_1)(x - x_2) $

1. 已知抛物线的顶点坐标为（3，0），且该抛物线经过点（4，2），求该抛物线的解析式.

答案： 解：设该抛物线的解析式为 $ y = a(x - 3)^2 $。
∵ 抛物线 $ y = a(x - 3)^2 $ 经过点 $ (4, 2) $，
∴ $ (4 - 3)^2 \cdot a = 2 $，即 $ a = 2 $，
∴ 该抛物线的解析式为 $ y = 2(x - 3)^2 $。

2. 已知二次函数 y = ax² + bx + c，当 x = 2 时，y 有最小值 -1，且与 x 轴的两交点之间的距离为 2，求此二次函数的解析式.
解：当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 有最小值 $ -1 $，
∴ 二次函数的对称轴为直线 $ x = 2 $，顶点坐标为 $ (2, -1) $，
又 ∵ 二次函数与 $ x $ 轴的两交点之间的距离为 2，
∴ 此二次函数与 $ x $ 轴交于点 $ (1, 0) $，$ (3, 0) $，
设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x - 1)(x - 3) $。
将点 $ (2, -1) $ 带入上式，得
$ -1 = a(2 - 1)(2 - 3) $，解得 $ a = $1，
∴ 此二次函数解析式为
$ y = (x - 1)(x - 3) = $x² - 4x + 3。

答案： 解：当 $ x = 2 $ 时，$ y $ 有最小值 $ -1 $，
∴ 二次函数的对称轴为直线 $ x = 2 $，顶点坐标为 $ (2, -1) $，
又
∵ 二次函数与 $ x $ 轴的两交点之间的距离为 2，
∴ 此二次函数与 $ x $ 轴交于点 $ (1, 0) $，$ (3, 0) $，
设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x - 1)(x - 3) $。
将点 $ (2, -1) $ 带入上式，得
$ -1 = a(2 - 1)(2 - 3) $，解得 $ a = 1 $，
∴ 此二次函数解析式为
$ y = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 $。

3. 已知一个二次函数的图象经过点（3，0），（-1，0）和（2，-6）.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴.

答案： 解：
(1) 设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x - 3)(x + 1) $。
将点 $ (2, -6) $ 代入上式，得
$ a \cdot (2 - 3) × (2 + 1) = -6 $，解得 $ a = 2 $。
∴ 这个二次函数的解析式为 $ y = 2(x - 3)(x + 1) = 2x^2 - 4x - 6 $；
(2)
∵ $ y = 2x^2 - 4x - 6 = 2(x - 1)^2 - 8 $，
∴ 这个二次函数的顶点坐标为 $ (1, -8) $，对称轴为直线 $ x = 1 $。

4. 已知抛物线经过 A（-2，0），B（4，0）两点，并且二次项系数为 -1.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）点 P 为抛物线上的一点，若$ S_{△PAB} = 33，$求出此时点 P 的坐标.

答案： 解：
(1) 设这个二次函数的解析式为 $ y = a(x + 2)(x - 4) $。
∵ 二次项系数为 $ -1 $，
∴ $ a = -1 $，
∴ 该抛物线解析式为 $ y = -(x + 2)(x - 4) = -(x - 1)^2 + 9 $，
顶点坐标为 $ (1, 9) $；
(2)
∵ $ S_{\triangle PAB} = 33 $，
∴ $ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot |y_p| = 33 $，
即 $ \frac{1}{2} × 6 \cdot |y_p| = 33 $，
当 $ y = 11 $ 时，方程 $ -(x - 1)^2 + 9 = 11 $，无实数根；
当 $ y = -11 $ 时，方程 $ -(x - 1)^2 + 9 = -11 $，
解得 $ x_1 = 1 + 2\sqrt{5} $，$ x_2 = 1 - 2\sqrt{5} $。
∴ 点 $ P $ 的坐标为 $ (1 + 2\sqrt{5}, -11) $ 或 $ (1 - 2\sqrt{5}, -11) $。