《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

一元二次方程的根与系数的关系:若一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0,b^{2}-4ac\geq0) $ 的两个根为 $ x_{1} $ 和 $ x_{2} $,则 $ x_{1}+x_{2}=$$-\frac {b}{a}$, $ x_{1}x_{2}=$$\frac {c}{a}$.其成立的前提条件是方程为一元二次方程,即二次项系数$a≠0$,且判别式$b^{2}-4ac≥0$.

答案： $-\frac {b}{a}$ $\frac {c}{a}$ $a≠0$ $b^{2}-4ac≥0$

1. 设方程 $ 2x^{2}-6x+3 = 0 $ 的两根为 $ x_{1},x_{2} $,不解方程,则 $ x_{1}+x_{2}=$3, $ x_{1}x_{2}=$$\frac {3}{2}$.

答案： 3 $\frac {3}{2}$

2. 已知一元二次方程 $ x^{2}-3x-1 = 0 $ 的两个根分别是 $ x_{1},x_{2} $ 则 $ x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2} $ 的值为 (A)
A. -3
B. 3
C. -6
D. 6

答案： A 解析：$x_{1}+x_{2}=3,x_{1}x_{2}=-1,x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}x_{2}^{2}=x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=(-1)×3=-3$. 故选 A.

3. 已知 $ x_{1},x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-x-3 = 0 $ 的两个根,那么 $ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $ 的值是 (C)
A. 1
B. 5
C. 7
D. $ \frac{49}{4} $

答案： C

4. 已知关于 $ x $ 的方程 $ x^{2}-kx+6 = 0 $ 的一个根是 2,求 $ k $ 的值及另一个根.

答案： 解：已知$x_{1}=2$，根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}x_{2}=6$，代入得$2x_{2}=6$，
$\therefore x_{2}=3$，又$\because x_{1}+x_{2}=k$，代入得$2+3=k$，
$\therefore k=5$.

5. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2}+(2k+1)x+k^{2}+1 = 0 $ 有两个实数根 $ x_{1},x_{2} $.
(1)求 $ k $ 的取值范围;$k≥\frac {3}{4}$
(2)若 $ x_{1}x_{2}=10 $,求 $ k $ 的值.3

答案： 解：
(1)$a=1,b=2k+1,c=k^{2}+1$，
$\therefore \Delta =b^{2}-4ac=(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)$，
∵方程有两个实数根，
$\therefore \Delta ≥0$，即$(2k+1)^{2}-4(k^{2}+1)≥0$，解得$k≥\frac {3}{4}$；
(2)$\because x_{1}x_{2}=\frac {c}{a}=k^{2}+1,x_{1}x_{2}=10$，
$\therefore k^{2}+1=10$，解得$k_{1}=-3,k_{2}=3$，
$\because$ 由
(1)得$k≥\frac {3}{4}$，
$\therefore k=3$.