《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 圆周角的定义:顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.

答案： 顶点

2. 圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半.

答案： 一半

3. 圆周角定理的推论一:同弧或等弧所对的圆周角相等.

答案： 相等

1. 如图,点A,B,C在圆O上,$∠A=60^{\circ }$,则$∠BOC=$$120^{\circ}$.

答案： $120^{\circ}$

2. 如图,已知BD是$\odot O$的直径,点A,C在$\odot O$上,$\overset{\frown }{AB}=\overset{\frown }{BC}$,$∠AOB=60^{\circ }$,则$∠BDC$的度数为$30^{\circ}$.

答案： $30^{\circ}$

3. 如图,在$\odot O$中,弦AB,CD相交于点P.若$∠A=48^{\circ },∠APD=80^{\circ }$,则$∠B$的度数为(A)

A.$32^{\circ }$
B.$42^{\circ }$
C.$48^{\circ }$
D.$52^{\circ }$

答案： A

4. 如图,AB,CD是$\odot O$的弦,延长AB,CD相交于点P.已知$∠P=30^{\circ },∠AOC=80^{\circ }$,求$\overset{\frown }{BD}$所对的圆心角的度数.

答案：
解:如图，连接BC.

∵ $∠AOC = 80^{\circ}$,
∴ $∠ABC=\frac{1}{2}∠AOC = 40^{\circ}$,
∵ $∠P = 30^{\circ}$,
∴ $∠BCD = ∠ABC - ∠P = 10^{\circ}$,
∴ $\overset{\frown}{BD}$ 所对的圆心角的度数为 $20^{\circ}$.

5. 如图,点A,B,C在半径为2的$\odot O$上,$∠ACB=60^{\circ },OD⊥AB$,垂足为点E,交$\odot O$于点D,连接OA,求OE的长度.

答案：
解:如图，连接OB.

∵ $∠ACB = 60^{\circ}$,
∴ $∠AOB = 2∠ACB = 120^{\circ}$.
∵ $OD⊥AB$,
∴ $\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$, $∠OEA = 90^{\circ}$.
∴ $∠AOD = ∠BOD=\frac{1}{2}∠AOB = 60^{\circ}$.
∴ $∠OAE = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
∴ $OE=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2 = 1$.