《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

公式法: 一元二次方程$ax^{2}+bx+c = 0(a \neq 0)$的求根公式为$x =$$\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$($b^{2}-4ac$$\geq$$0$).

答案： $ \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } ≥$

1. 用公式法解方程$x^{2}+2x = 3$时, 求根公式中的$a$,$b$,$c$的值分别是 (C)
A. $1$,$2$,$3$
B. $1$,$-2$,$3$
C. $1$,$2$,$-3$
D. $1$,$-2$,$-3$

答案： 1.C

2. 关于一元二次方程$3x^{2}-5x+1 = 0$的解, 正确的是 (B)
A. $x=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{6}$
B. $x=\frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$
C. $x=\frac{-5 \pm \sqrt{13}}{3}$
D. $x=\frac{5 \pm \sqrt{13}}{3}$

答案： 2.B

3. 用公式法解方程$2x^{2}-4x-1 = 0$, 其中$b^{2}-4ac =$24.

答案： 3.24

4. 关于$x$的一元二次方程$kx^{2}-x+1 = 0$有两个不相等的实数根, 则$k$的取值范围是$k ＜ \frac { 1 } { 4 }$且$k \neq 0$.

答案： $4. k ＜ \frac { 1 } { 4 } $且$ k \neq 0 $

5. 用公式法解下列方程:
(1)$x^{2}-3x-1 = 0$; 解：$ a = 1 $，$ b = - 3 $，$ c = - 1 $，$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 1 ) = 13 $，$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 3 ) \pm \sqrt { 13 } } { 2 × 1 } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $；
(2)$3x^{2}=2-5x$; 解：移项，得$ 3 x ^ { 2 } + 5 x - 2 = 0 $，$ a = 3 $，$ b = 5 $，$ c = - 2 $，$ b ^ { 2 } - 4 a c = 5 ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 $，$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 5 \pm \sqrt { 49 } } { 2 × 3 } $，$ \therefore x _ { 1 } = - 2 $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } $；
(3)$\frac{3}{2} y^{2}-4 y=1$; 解：原方程变形为$ 3 y ^ { 2 } - 8 y - 2 = 0 $，$ a = 3 $，$ b = - 8 $，$ c = - 2 $，$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 2 ) = 64 + 24 = 88 $，$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 8 ) \pm \sqrt { 88 } } { 2 × 3 } $，$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 4 + \sqrt { 22 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 4 - \sqrt { 22 } } { 3 } $；
(4)$(t+1)(t-3)=-t(3-3 t)$. 解：方程化为$ 2 t ^ { 2 } - t + 3 = 0 $，$ a = 2 $，$ b = - 1 $，$ c = 3 $，$ b ^ { 2 } - 4 a c = 1 - 4 × 2 × 3 = - 23 ＜ 0 $，$ \therefore $原方程无实数根。

答案： 5.
(1)解：$$ a = 1 $$，$$ b = - 3 $$，$$ c = - 1 $$，$$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 3 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × ( - 1 ) = 13 $$，
$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 3 ) \pm \sqrt { 13 } } { 2 × 1 } $$，$
\therefore x _ { 1 } = \frac { 3 + \sqrt { 13 } } { 2 } $$，$$ x _ { 2 } = \frac { 3 - \sqrt { 13 } } { 2 } $$；
(2)解：移项，得$$ 3 x ^ { 2 } + 5 x - 2 = 0 $$，
$ a = 3 $$，$$ b = 5 $$，$$ c = - 2 $$，$ b ^ { 2 } - 4 a c = 5 ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 2 ) = 25 + 24 = 49 $$，
$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 5 \pm \sqrt { 49 } } { 2 × 3 } $$，$
\therefore x _ { 1 } = - 2 $$，$$ x _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 } $$；
(3)解：原方程变形为$$ 3 y ^ { 2 } - 8 y - 2 = 0 $$，$$ a = 3 $$，$$ b = - 8 $$，$$ c = - 2 $$，
$ b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 8 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 2 ) = 64 + 24 = 88 $$，$ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - ( - 8 ) \pm \sqrt { 88 } } { 2 × 3 } $$，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 4 + \sqrt { 22 } } { 3 } $$，$$ x _ { 2 } = \frac { 4 - \sqrt { 22 } } { 3 } $$；(4)解：方程化为$$ 2 t ^ { 2 } - t + 3 = 0 $$，$$ a = 2 $$，$$ b = - 1 $$，$$ c = 3 $$，$$ b ^ { 2 } - 4 a c = 1 - 4 × 2 × 3 = - 23 ＜ 0 $$，$
\therefore $$原方程无实数根。