《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 一般地,式子$b^{2}-4ac$叫做一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$根的判别式,常用希腊字母“$\Delta$”来表示它,即$\Delta =b^{2}-4ac$.

答案： $ b^{2}-4ac $

2. ①当$b^{2}-4ac$＞0时,一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个不相等的实数根;
②当$b^{2}-4ac=0$时,一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$有两个相等的实数根;
③当$b^{2}-4ac$＜0时,一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a≠0)$没有实数根.

答案： $ ＞ $ 相等 $ ＜ $

1. 一元二次方程$x^{2}+4x+5=0$的根的情况是 (A)
A. 无实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 不能确定

答案： A

2. 若关于$x$的方程$kx^{2}+2x-1=0$有两个实数根,则$k$的取值范围是 (C)
A. $k≥-1$
B. $k≤-1$
C. $k≥-1$且$k≠0$
D. $k≤-1$且$k≠0$

答案： C

3. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x+m=0$无实数根,则$m$的取值范围是 (A)
A. $m＞1$
B. $m＞0$
C. $m＞-1$
D. 全体实数

答案： A

4. 若关于$x$的一元二次方程$x^{2}+4x+2a=0$有两个不相等的实数根,则整数$a$的最大值是1.

答案： 1

5. 已知关于$x$的一元二次方程$(x+3)(x+2)=m^{2}$.
(1)求证:对于任意实数$m$,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求$m$的值及方程的另一个根.

答案：
(1) 证明：原方程可化为 $ x^{2}+5x+6-m^{2}=0 $，
$ a=1 $，$ b=5 $，$ c=6-m^{2} $，
$ \Delta =b^{2}-4ac=5^{2}-4×1×(6-m^{2})=1+4m^{2} $，
$ ∵m^{2}≥0 $，$ ∴1+4m^{2}＞0 $，即 $ \Delta ＞0 $，
$ ∴ $ 对于任意实数 $ m $，方程总有两个不相等的实数根；
(2) 解：$ ∵ $ 方程 $ (x+3)(x+2)=m^{2} $ 的一个根是 1，
$ ∴(1+3)×(1+2)=m^{2} $，即 $ m^{2}=12 $，解得 $ m=±2\sqrt{3} $，
$ ∴ $ 原方程可化为 $ x^{2}+5x-6=0 $，解得 $ x_{1}=1 $，$ x_{2}=-6 $。
$ ∴ $ 方程的另一个根为 -6。