《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 正多边形与圆的关系：把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆.

答案： 外接圆

2. 正多边形的有关概念：
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心；
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.

答案： 圆心 半径 圆心角 边心距

3. 一般地，正n边形的一个内角的度数为$\frac{(n - 2)180^{\circ}}{n}$，中心角的度数等于$\frac{360^{\circ}}{n}$，正多边形的中心角与外角的大小相等，$C_{正n边形}=n\cdot$边长，$S_{正n边形}=nS_{等腰三角形}$.

答案： $\frac{(n - 2)180^{\circ}}{n}$ $\frac{360^{\circ}}{n}$ 相等

1. 中心角是$45^{\circ }$的正多边形的边数是______8.

答案： 8

2. 如图，边心距为3的正方形ABCD内接于$\odot O$，则该正方形的中心角$\theta =$90°，边长$AB=$6，$S_{正方形ABCD}=$36，$\odot O$的半径$r=$$3\sqrt{2}$.

答案： $90;6;36;3\sqrt{2}$

3. 如图，正方形ABCD内接于$\odot O$，点E是弧AD上一点，若$∠EAF=15^{\circ }$，则$∠AFB$的大小为______$60^{\circ}$.

答案： $60^{\circ}$

4. 如图，点A，P，B，C是$\odot O$上的四个点，$∠APC=∠CPB=60^{\circ }$.
(1)求证：$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)若$\odot O$的半径为2，求等边三角形ABC的边心距.

答案：

(1) 证明：
∵ 在$\odot O$中，$\angle BAC$与$\angle CPB$是$\overset{\frown}{BC}$所对的圆周角，$\angle ABC$与$\angle APC$是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴ $\angle BAC = \angle CPB$，$\angle ABC = \angle APC$。
又
∵ $\angle APC = \angle CPB = 60^{\circ}$，
∴ $\angle ABC = \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ}$。
∴ $\triangle ABC$是等边三角形；
(2) 解：如图，过点$O$作$OD \perp BC$于点$D$，连接$OB$，

∵ $OD \perp BC$，
∴ $\angle ODB = 90^{\circ}$，
∴ $\angle OBD = 30^{\circ}$，
∵ $OB = 2$，
∴ $OD = 1$，
∴ 等边三角形$ABC$的边心距为 1。