《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.

答案： 垂直

1. 如图所示,$AB$是$\odot O$的直径,$AC$是$\odot O$的切线,且$AB = AC$,则$∠C=$$45^{\circ}$.

答案： $45^{\circ}$

2. 如图,直线$AB$与$\odot O$相切于点$A$,$\odot O$的半径为2,若$∠OBA = 30^{\circ}$,则$OB$的长为(B)

A. $4\sqrt{3}$
B. 4
C. $2\sqrt{3}$
D. 2

答案： B

3. 如图,$PA$是$\odot O$的切线,切点为点$A$,$PA = 2\sqrt{3}$,$∠APO = 30^{\circ}$,则$\odot O$的半径长为______2.

答案： 2

4. 如图,$AB$为$\odot O$的直径,点$C$在$\odot O$上,$AD$与过点$C$的切线互相垂直,垂足为点$D$.连接$BC$并延长,交$AD$的延长线于点$E$. 求证:$AE = AB$.

答案：
证明:如图，连接 $OC$。
　　　　　
∵ $DC$ 与 $\odot O$ 相切，
∴ $OC \perp CD$。
又
∵ $AE \perp CD$，
∴ $OC // AE$。
∵ $OA = OB$，
∴ $EC = BC$。
∴ $OC = \frac{1}{2}AE$。
∵ $OC = OA = OB = \frac{1}{2}AB$，
∴ $AE = AB$。

5. 如图,$BD$是$\odot O$的直径,点$A$在$\odot O$上,过点$A$作$\odot O$的切线,交$BD$的延长线于点$C$,连接$AB$.
(1)若$∠B = 25^{\circ}$,求$∠C$的度数;
(2)若$AC = 4$,$CD = 2$,求$\odot O$的半径.

答案：
解:
(1) 如图，连接 $OA$。
　　　　
∵ $\angle B = 25^{\circ}$，
∴ $\angle AOC = 2\angle B = 50^{\circ}$。
∵ $AC$ 是 $\odot O$ 的切线，
∴ $OA \perp AC$，即 $\angle OAC = 90^{\circ}$。
∴ $\angle C = 180^{\circ} - \angle OAC - \angle AOC = 40^{\circ}$；
(2) 解:由
(1) 知，$\angle OAC = 90^{\circ}$。
设 $OA = OD = r$，则 $OC = OD + CD = r + 2$。
在 $Rt\triangle OAC$ 中，$OC^{2} = OA^{2} + AC^{2}$，即 $(r + 2)^{2} = r^{2} + 4^{2}$，
解得 $r = 3$。
∴ $\odot O$ 的半径为 3。