《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 如图,矩形$ABCD$的两边长$AB=18cm$,$AD=4cm$,点$P$、$Q$分别从点$A$、$B$同时出发,点$P$在边$AB$上沿$AB$方向以每秒$2cm$的速度匀速运动,点$Q$在边$BC$上沿$BC$方向以每秒$1cm$的速度匀速运动.设运动时间为$x$秒,$\triangle PBQ$的面积为$ycm^{2}$.
(1)求$y$关于$x$的函数解析式,并写出$x$的取值范围;
$y=$$-x^2 + 9x$($0 ＜ x\leqslant $4)
(2)求$\triangle PBQ$的面积的最大值.
20$cm^2$

答案： 解：
(1)$\because S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}PB\cdot BQ$，
$PB = AB - AP = 18 - 2x$，$BQ = x$，
$\therefore y=\frac{1}{2}(18 - 2x)x$，即$y = -x^2 + 9x(0 ＜ x\leqslant 4)$；
(2)由
(1)知，$y = -x^2 + 9x$，
$\therefore y=-(x - \frac{9}{2})^2 + \frac{81}{4}$，
$\because$当$0 ＜ x\leqslant \frac{9}{2}$时，$y$随$x$的增大而增大，
而$0 ＜ x\leqslant 4$，
$\therefore$当$x = 4$时，$y_{最大值}=20$，即
$\triangle PBQ$的最大面积是$20cm^2$。

2. (2025·庆阳期末)学校要建一个矩形花圃,其中一边靠墙,另外三边用篱笆围成.已知墙长$42m$,篱笆长$80m$.设垂直于墙的边$AB$为$x m$.
(1)围成的矩形花圃的面积能否为$750m^{2}$?若能,求出$x$的值;若不能,说明理由;
能，$x$的值为25
(2)围成的矩形花圃的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值,并求出此时$x$的值;若不存在,说明理由.
存在，最大值为800$m^{2}$，此时$x$的值为20

答案： 解：
(1)围成的矩形花圃的面积能为$750m^2$。
$\because$平行于墙的边$BC = (80 - 2x)m$，
而$0 ＜ 80 - 2x\leqslant 42$，且$x ＞ 0$，
$\therefore 19\leqslant x ＜ 40$。
由题意，得$x(80 - 2x) = 750$，
解得$x = 15$(舍去)或$x = 25$，
答：围成的矩形花圃的面积能为$750m^2$，此时$x$的值为$25$；
(2)设围成的矩形花圃的面积为$S m^2$。
由题意，得$S = x(80 - 2x) = -2x^2 + 80x = -2(x - 20)^2 + 800$，
$\because -2 ＜ 0$，且$19\leqslant x ＜ 40$，
$\therefore$当$x = 20$时，$S$取得最大值$800$。
答：围成的矩形花圃的面积存在最大值，最大值为$800m^2$，此时$x$的值为$20$。