《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

答案： 两条 相等 平分

2. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等.

答案： 相切 三条角平分线 内心 相等

1. 如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB = 40°，下列说法不正确的是(C)

A. PA = PB
B. ∠APO = 20°
C. ∠OBP = 70°
D. ∠AOP = 70°

答案： C

2. 如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，E是⊙O上一点，且∠AEB = 60°，则∠P = 60度.

答案： 60

3. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠BOC = 119°，则∠A的度数为______58°.

答案： $58^{\circ}$

4. 如图所示，⊙O分别切△ABC的三边AB，BC，CA于点D，E，F，若BC = 10，AC = 11，AB = 8. 求AF=4.5，BD=3.5，CE=6.5.

答案： 4.5,3.5,6.5

5. 如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D.
(1)若∠BAC = 70°，求∠CBD的度数；35°
(2)求证：DE = DB.
证明:∵点 E 是$\triangle ABC$的内心,
∴BE 平分$\angle ABC$,AE 平分$\angle BAC$,
∴$\angle ABE=\angle CBE$,$\angle BAD=\angle CAD$,
∵$\angle CBD=\angle CAD$,
∴$\angle CBD=\angle BAD$,
∵$\angle BAD+\angle ABE=\angle BED$,$\angle CBE+\angle CBD=\angle DBE$,
∴$\angle BED=\angle DBE$,
∴$DE = DB$.

答案：
(1)解:
∵点 E 是$\triangle ABC$的内心,
∴AE 平分$\angle BAC$.
∵$\angle BAC = 70^{\circ}$,
∴$\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAC=\frac{1}{2}×70^{\circ}=35^{\circ}$,
∴$\angle CBD=\angle CAD = 35^{\circ}$;
(2)证明:
∵点 E 是$\triangle ABC$的内心,
∴BE 平分$\angle ABC$,AE 平分$\angle BAC$,
∴$\angle ABE=\angle CBE$,$\angle BAD=\angle CAD$,
∵$\angle CBD=\angle CAD$,
∴$\angle CBD=\angle BAD$,
∵$\angle BAD+\angle ABE=\angle BED$,$\angle CBE+\angle CBD=\angle DBE$,
∴$\angle BED=\angle DBE$,
∴$DE = DB$.