《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

1. 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。
2. 对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。
3. 图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。

答案： 2.相等　对应线段
3.大小　形状

1. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 1，AC = 2，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接BD，则BD的长为$\sqrt{10}$。

答案： $\sqrt{10}$

2. 如图，在△ABC中，AC = BC，点O是AB的中点，将△ABC绕着点O旋转180°得到△ABD。
（1）求证：四边形ACBD是菱形；
（2）如果∠ABC = 60°，BC = 2，求菱形ACBD的面积。

答案：

(1)证明:
∵将$\triangle ABC$绕着点O旋转$180^{\circ }$得$\triangle ABD$,
∴$AC=BD,AD=BC$.
∵$AC=BC$,
∴$AC=BD=AD=BC$.
∴四边形ACBD是菱形;
(2)解:如图,过点A作$AE⊥BC$于点E.
　　　
∵$∠ABC=60^{\circ },BC=AC=2$,
∴$\triangle ABC$是等边三角形.
∴$BE=\frac{1}{2}BC=1,AB=BC=2$.
∴$AE=\sqrt {AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt {3}$.
∴$AE\cdot BC=2\sqrt {3}$.
∴菱形ACBD的面积为$2\sqrt {3}$.

3. 如图，将矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，点E在AD上。延长AD交FG于点H。
（1）求证：△EDC ≌ △HFE；
证明:∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到,
∴$FE=AB=DC,∠F=∠EDC=90^{\circ },FH// EC$,
∴$∠FHE=∠CED$,
∵在$\triangle EDC$和$\triangle HFE$中,
$\begin{cases} ∠EDC=∠F \\ ∠CED=∠FHE \\ DC=FE \end{cases}$
∴$\triangle EDC\cong \triangle HFE$(AAS);
（2）若∠BCE = 60°，连接BE，CH。求证：四边形BEHC是菱形。
证明:由(1)得$\triangle EDC\cong \triangle HFE$,
∴$EH=EC$.
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到,
∴$EH=CE=BC,EH// BC$,
∴四边形BEHC为平行四边形.
∵$∠BCE=60^{\circ },EC=BC$,
∴$\triangle BCE$是等边三角形,
∴$BE=BC$,
∴四边形BEHC是菱形.

答案： 证明:
(1)
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到,
∴$FE=AB=DC,∠F=∠EDC=90^{\circ },FH// EC$,
∴$∠FHE=∠CED$,
∵在$\triangle EDC$和$\triangle HFE$中,
　　$\begin{cases} ∠EDC=∠F \\ ∠CED=∠FHE \\ DC=FE \end{cases}$
∴$\triangle EDC\cong \triangle HFE(AAS)$;
(2)由
(1)得$\triangle EDC\cong \triangle HFE$,
∴$EH=EC$.
∵矩形FECG由矩形ABCD旋转得到,
∴$EH=CE=BC,EH// BC$,
∴四边形BEHC为平行四边形.
∵$∠BCE=60^{\circ },EC=BC$,
∴$\triangle BCE$是等边三角形,
∴$BE=BC$,
∴四边形BEHC是菱形.