《2025年名师帮同步学案九年级数学全一册人教版》

用配方法解一元二次方程 $ ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0) $ 的一般步骤是:
①化为一般形式;
②移项,将常数项移到方程的右边;
③化二次项系数为1,即方程两边同除以a;
④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方,化原方程为 $ (x + m)^{2}=n $ 的形式;
⑤如果 $ n\geq0 $ 就可以用两边开平方来求出方程的解;如果 $ n\lt0 $,则原方程无解.

答案： a

1. 填上适当的数,使等式成立:
(1) $ x^{2}-2x+ $1$ =(x- $1$ )^{2} $;
(2) $ x^{2}-5x+ $$\frac{25}{4}$$ =(x- $$\frac{5}{2}$$ )^{2} $;
(3) $ x^{2}+\frac{1}{3}x+ $$\frac{1}{36}$$ =(x+ $$\frac{1}{6}$$ )^{2} $.

答案： 1.
(1) 1 1
(2) $\frac{25}{4}$ $\frac{5}{2}$
(3) $\frac{1}{36}$ $\frac{1}{6}$

2. 用配方法解方程 $ x^{2}-x = 3 $ 时,方程的两边都加上 (A)
A. $ \frac{1}{4} $
B. $ \frac{1}{3} $
C. $ \frac{1}{2} $
D. 1

答案： 2. A

3. 用配方法解一元二次方程 $ x^{2}-4x-1 = 0 $ 时,配方后正确的是 (D)
A. $ (x-2)^{2}=3 $
B. $ (x+2)^{2}=5 $
C. $ (x-2)^{2}=4 $
D. $ (x-2)^{2}=5 $

答案： 3. D

4. 用配方法解下列方程:
(1) $ x^{2}-2x-3 = 0 $;
解：移项，得 $x^{2}-2x=3$，
配方，得 $x^{2}-2x+1=3+1$，即 $(x-1)^{2}=4$，
开方，得 $x-1=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=3$
(2) $ x^{2}-4x+1 = 0 $;
解：移项，得 $x^{2}-4x=-1$，
配方，得 $x^{2}-4x+4=-1+4$，即 $(x-2)^{2}=3$，
开方，得 $x-2=\pm \sqrt{3}$，
$\therefore x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$
(3) $ x^{2}+3x+1 = 0 $;
解：移项，得 $x^{2}+3x=-1$，
配方，得 $x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$，即 $(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{4}$，
开方，得 $x+\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$
(4) $ -5x^{2}+10x+15 = 0 $;
解：移项，得 $-5x^{2}+10x=-15$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-2x=3$，
配方，得 $x^{2}-2x+1=3+1$，即 $(x-1)^{2}=4$，
开方，得 $x-1=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$
(5) $ 2x^{2}+6 = 7x $;
解：移项，得 $2x^{2}-7x=-6$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-\frac{7}{2}x=-3$，
配方，得 $x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-3+(\frac{7}{4})^{2}$，即 $(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，
开方，得 $x-\frac{7}{4}=\pm \frac{1}{4}$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$
(6) $ 4x^{2}-4x+1 = 0 $.
解：移项，得 $4x^{2}-4x=-1$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-x=-\frac{1}{4}$，
配方，得 $x^{2}-x+(\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{4}+(\frac{1}{2})^{2}$，即 $(x-\frac{1}{2})^{2}=0$，
开方，得 $x-\frac{1}{2}=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$

答案： 4.
(1) 解：移项，得 $x^{2}-2x=3$，
配方，得 $x^{2}-2x+1=3+1$，即 $(x-1)^{2}=4$，
开方，得 $x-1=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=-1$，$x_{2}=3$；
(2) 解：移项，得 $x^{2}-4x=-1$，
配方，得 $x^{2}-4x+4=-1+4$，即 $(x-2)^{2}=3$，
开方，得 $x-2=\pm \sqrt{3}$，
$\therefore x_{1}=2+\sqrt{3}$，$x_{2}=2-\sqrt{3}$；
(3) 解：移项，得 $x^{2}+3x=-1$，
配方，得 $x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$，即 $(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{5}{4}$，
开方，得 $x+\frac{3}{2}=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$，
$\therefore x_{1}=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$，$x_{2}=\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$；
(4) 解：移项，得 $-5x^{2}+10x=-15$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-2x=3$，
配方，得 $x^{2}-2x+1=3+1$，即 $(x-1)^{2}=4$，
开方，得 $x-1=\pm 2$，
$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=-1$；
(5) 解：移项，得 $2x^{2}-7x=-6$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-\frac{7}{2}x=-3$，
配方，得 $x^{2}-\frac{7}{2}x+(\frac{7}{4})^{2}=-3+(\frac{7}{4})^{2}$，即 $(x-\frac{7}{4})^{2}=\frac{1}{16}$，
开方，得 $x-\frac{7}{4}=\pm \frac{1}{4}$，
$\therefore x_{1}=2$，$x_{2}=\frac{3}{2}$；
(6) 解：移项，得 $4x^{2}-4x=-1$，
二次项系数化为 1，得 $x^{2}-x=-\frac{1}{4}$，
配方，得 $x^{2}-x+(\frac{1}{2})^{2}=-\frac{1}{4}+(\frac{1}{2})^{2}$，即 $(x-\frac{1}{2})^{2}=0$，
开方，得 $x-\frac{1}{2}=0$，
$\therefore x_{1}=x_{2}=\frac{1}{2}$。