《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

11. (1) (2024·通辽中考)分解因式：$3ax^{2}-6axy+3ay^{2}=$$3a(x - y)^2$；
(2) 已知$a+b= 3$,$ab= 2$,则代数式$a^{3}b+2a^{2}b^{2}+ab^{3}=$18.

答案：
(1) $ 3a(x - y)^2 $
(2) 18

12. 把下列各式分解因式：
(1) $x^{4}-13x^{2}y^{2}+36y^{4}$； (2) $p^{2}+5pq+6q^{2}+p+3q$.

答案：
(1) $ (x + 2y)(x - 2y)(x + 3y)(x - 3y) $
(2) $ (p + 2q + 1)(p + 3q) $

13. 利用因式分解计算：
(1) $59^{2}-41^{2}$； (2) $202^{2}+202×196+98^{2}$.

答案：
(1) 1800
(2) 90000

14. 已知$(x^{2}+y^{2}+3)(x^{2}+y^{2}-2)-6= 0$,求$x^{2}+y^{2}$的值.

答案： 解：$ \because (x^2 + y^2 + 3)(x^2 + y^2 - 2) - 6 = 0 $，$ \therefore (x^2 + y^2)^2 + (x^2 + y^2) - 12 = 0 $，$ (x^2 + y^2 + 4)(x^2 + y^2 - 3) = 0 $。$ \because x^2 + y^2 + 4 \neq 0 $，$ \therefore x^2 + y^2 - 3 = 0 $。$ \therefore x^2 + y^2 = 3 $。

15. 配方法是一种重要的数学思想方法,它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法.
变形方式通常为：$a^{2}\pm 2ab= a^{2}\pm 2ab+b^{2}-b^{2}= (a\pm b)^{2}-b^{2}$；
$a^{2}+b^{2}= a^{2}+2ab+b^{2}-2ab= (a+b)^{2}-2ab$.
例如：把代数式$x^{2}+4x-5$进行配方.
解：$x^{2}+4x-5= x^{2}+2\cdot 2\cdot x-5= x^{2}+2\cdot 2\cdot x+2^{2}-2^{2}-5= (x+2)^{2}-4-5= (x+2)^{2}-9$.
从而利用平方差公式可以将代数式$x^{2}+4x-5因式分解为(x+5)(x-1)$.
(1) 已知$M是含字母x$的单项式,要使多项式$x^{2}+M+1$是完全平方式,则$M$为$\pm 2x$或$\frac{x^4}{4}$；
(2) 利用上述方法分解因式：$x^{2}-8x-20$；
解：原式$=x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2 - 4^2 - 20 = (x - 4)^2 - 36 = (x - 4 + 6)(x - 4 - 6) =$$(x + 2)(x - 10)$
(3) 已知$a^{2}+b^{2}-6a+10b+34= 0$,求多项式$4a^{2}+12ab+9b^{2}$的值.
解：$\because a^2 + b^2 - 6a + 10b + 34 = 0$，$\therefore a^2 - 6a + 9 - 9 + b^2 + 10b + 25 - 25 + 34 = 0$。$\therefore (a - 3)^2 + (b + 5)^2 = 0$。$\therefore a = 3$，$b = -5$。$\therefore$ 原式$=(2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = (2a + 3b)^2 = [2 × 3 + 3 × (-5)]^2 = (6 - 15)^2 =$$81$

答案： 解：
(1) ① $ \because x^2 + M + 1 = x^2 + M + 1^2 $，$ \therefore M = \pm 2 \cdot x \cdot 1 = \pm 2x $；
② $ \because x^2 + M + 1 = M + x^2 + 1^2 $，$ \therefore M = \frac{x^4}{4} $；
(2) 原式 $ = x^2 - 2 \cdot 4 \cdot x + 4^2 - 4^2 - 20 = (x - 4)^2 - 36 = (x - 4 + 6)(x - 4 - 6) = (x + 2)(x - 10) $；
(3) $ \because a^2 + b^2 - 6a + 10b + 34 = 0 $，$ \therefore a^2 - 6a + 9 - 9 + b^2 + 10b + 25 - 25 + 34 = 0 $。$ \therefore (a - 3)^2 + (b + 5)^2 = 0 $。$ \therefore a = 3 $，$ b = -5 $。$ \therefore $ 原式 $ = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = (2a + 3b)^2 = [2 \times 3 + 3 \times (-5)]^2 = (6 - 15)^2 = 81 $。