《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

10. (2024·上海青浦区三模)如果三角形的两个内角$α与β满足2α+β= 90^{\circ }$,那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”.关于“奇妙互余三角形”,有下列结论：①在$△ABC$中,若$∠A= 130^{\circ }$,$∠B= 40^{\circ }$,$∠C= 10^{\circ }$,则$△ABC$是“奇妙互余三角形”；②若$△ABC$是“奇妙互余三角形”,$∠C＞90^{\circ }$,$∠A= 60^{\circ }$,则$∠B= 20^{\circ }$；③“奇妙互余三角形”一定是钝角三角形.其中,正确的结论有______①③(填写序号).

答案： ①③

11. 如图,有一艘渔船上午9时在$A$处沿正东方向航行,在$A处测得灯塔C在北偏东60^{\circ }$方向上,行驶$2h到达B$处,在$B处测得灯塔C在北偏东15^{\circ }$方向上,试求$△ABC$各内角的度数.$\angle CAB=$$30^{\circ}$，$\angle ABC=$$105^{\circ}$，$\angle C=$$45^{\circ}$

答案： $\angle CAB = 30^{\circ}$，$\angle ABC = 105^{\circ}$，$\angle C = 45^{\circ}$

12. 如图,在$△ABC$中,$BD$是角平分线,点$E$、$F$、$G分别在边AB$、$BC$、$AC$上,连接$DE$、$GF$,且满足$GF// BD$,$∠1= ∠2$.若$∠AED= 70^{\circ }$,求$∠2$的度数.

解：$\because GF // BD$，$\therefore \angle 2 = \angle DBC$．$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle 1 = \angle DBC$．$\therefore ED // BC$．$\therefore \angle ABC = \angle AED = 70^{\circ}$．$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle EBD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 35^{\circ}$．$\therefore \angle 2 = \angle DBC =$35°．

答案： 解：$\because GF // BD$，$\therefore \angle 2 = \angle DBC$．$\because \angle 1 = \angle 2$，$\therefore \angle 1 = \angle DBC$．$\therefore ED // BC$．$\therefore \angle ABC = \angle AED = 70^{\circ}$．$\because BD$平分$\angle ABC$，$\therefore \angle EBD = \angle DBC = \frac{1}{2}\angle ABC = 35^{\circ}$．$\therefore \angle 2 = \angle DBC = 35^{\circ}$．

13. (2024·潍坊潍城区二模)三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理,下面给出了该定理的一种证明方法.
已知：如图甲,______.
求证：$∠A+∠B+∠C= 180^{\circ }$.
证明：如图乙,作$BC的延长线CD$,在$△ABC$外部,以$CA$为一边,作$∠ACE= ∠A$.
$\therefore CE// AB$(内错角相等,两直线平行).
$\therefore ∠B= ∠ECD$(______).
$\because ∠ACB$,$∠ACE$,$∠ECD$组成一个平角,
$\therefore ∠ACB+∠ACE+∠ECD= 180^{\circ }$(平角的定义),
$\therefore ∠ACB+∠A+∠B= 180^{\circ }$(______).
(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；
(2)该定理有多种证明方法,请再写出一种证明方法.

答案：
解：
(1) $\triangle ABC$ 两直线平行，同位角相等 等量代换
(2) 如图，过点$A$作$AD // BC$，$\because AD // BC$，$\therefore \angle DAC = \angle C$（两直线平行，内错角相等）．$\angle BAD + \angle B = 180^{\circ}$（两直线平行，同旁内角互补）．即$\angle BAC + \angle DAC + \angle B = 180^{\circ}$．$\therefore \angle BAC + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$．