《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

7. 如图,点D、E分别在AB、AC上,BD= CE,AB= AC,BE、CD相交于点O.
求证：∠B= ∠C.
小刚同学的证明过程如下：
证明：在△ABE和△ACD中,
{AB= AC,
BD= CE,……第一步
∠A= ∠A,
∴△ABE≌△ACD.……第二步
∴∠B= ∠C.……第三步
(1)小刚同学的证明过程中,第一步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程.
证明：∵BD = CE，AB = AC，∴AB - BD = AC - CE。∴AD = AE。
在△ABE和△ACD中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle A = \angle A\\AE = AD\end{cases}$，∴△ABE ≌ △ACD（SAS），∴∠B = ∠C。

答案： （1）一
（2）证明：$\because BD = CE$，$AB = AC$，$\therefore AB - BD = AC - CE$。$\therefore AD = AE$。
在$\triangle ABE$和$\triangle ACD$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle A = \angle A\\AE = AD\end{cases}$，$\therefore \triangle ABE \cong \triangle ACD$（SAS），$\therefore \angle B = \angle C$。

8. 已知：如图,在△ABC和△DEF中,B、E、C、F在同一条直线上.下面四个条件：①AB= DE；②AC= DF；③BE= CF；④∠ABC= ∠DEF.
(1)请选择其中的三个条件,使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可)；①②③（或①③④）
(2)在(1)的条件下,求证：△ABC≌△DEF.
证明：当选择①②③时，∵BE = CF，∴BE + EC = CF + EC，即BC = EF。在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$，∴△ABC≌△DEF（SSS）。当选择①③④时，∵BE = CF，∴BE + EC = CF + EC，即BC = EF。在△ABC和△DEF中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle ABC = \angle DEF\\BC = EF\end{cases}$，∴△ABC≌△DEF（SAS）。

答案： （1）解：由题知，选择的三个条件是：①②③；或者选择的三个条件是：①③④。
（2）证明：当选择①②③时，$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\BC = EF\\AC = DF\end{cases}$，$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（SSS）。当选择①③④时，$\because BE = CF$，$\therefore BE + EC = CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\begin{cases}AB = DE\\\angle ABC = \angle DEF\\BC = EF\end{cases}$，$\therefore \triangle ABC \cong \triangle DEF$（SAS）。

9. 如图,BE= CF,DE垂直AB的延长线于点E,DF⊥AC于点F,且DB= DC.求证：AD是∠BAC的平分线.
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，∴ ∠ BED = ∠ DFC = 90°。在Rt△ DEB和Rt△ DFC中，{BE = CFDB = DC，∴ Rt△ DEB ≌ Rt△ DFC。∴ DE = DF。∴ AD是∠BAC的平分线。

答案： 证明：$\because DE \perp AB$，$DF \perp AC$，$\therefore \angle BED = \angle DFC = 90^{\circ}$。在$Rt\triangle DEB$和$Rt\triangle DFC$中，$\begin{cases}BE = CF\\DB = DC\end{cases}$，$\therefore Rt\triangle DEB \cong Rt\triangle DFC$。$\therefore DE = DF$。$\therefore AD$是$\angle BAC$的平分线。

10. 如图,将Rt△BAF沿AF所在直线平移到Rt△DCE的位置,使平移的距离AC= AB,过点F作FG⊥BC于点G,连接DG、EG.求证：△EFG≌△DCG.
证明：$\because Rt\triangle BAF$平移得到$Rt\triangle DCE$，$\therefore AB = DC$，$AF = EC$。$\because AB = AC$，$\therefore DC = AC$。$\because AC = CF + AF = CF + EC = EF$，$\therefore DC = EF$。$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AC = AB$，$\therefore \angle BCF = 45^{\circ}$。$\because DC \perp EF$，$FG \perp BC$，$\therefore \angle DCG = 45^{\circ}$，$\angle GFC = \angle GCF = 45^{\circ}$。$\therefore CG = GF$，$\angle DCG = \angle GFC$。在$\triangle EFG$和$\triangle DCG$中，$\begin{cases}GF = GC\\\angle GFE = \angle GCD\\EF = DC\end{cases}$，$\therefore \triangle EFG \cong \triangle DCG$（SAS）。

答案： 证明：$\because Rt\triangle BAF$平移得到$Rt\triangle DCE$，$\therefore AB = DC$，$AF = EC$。$\because AB = AC$，$\therefore DC = AC$。$\because AC = CF + AF = CF + EC = EF$，$\therefore DC = EF$。$\because \angle BAC = 90^{\circ}$，$AC = AB$，$\therefore \angle BCF = 45^{\circ}$。$\because DC \perp EF$，$FG \perp BC$，$\therefore \angle DCG = 45^{\circ}$，$\angle GFC = \angle GCF = 45^{\circ}$。$\therefore CG = GF$，$\angle DCG = \angle GFC$。在$\triangle EFG$和$\triangle DCG$中，$\begin{cases}GF = GC\\\angle GFE = \angle GCD\\EF = DC\end{cases}$，$\therefore \triangle EFG \cong \triangle DCG$（SAS）。