《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

8. 如图,在$\triangle ABC$中,$BC= 5cm$,BP、CP 分别是$∠ABC和∠ACB$的平分线,且$PD// AB$交 BC 于点 D,$PE// AC$交 BC 于点 E,则$\triangle PDE$的周长是5cm.

答案： 5

9. 如图,BD 是$\triangle ABC$的角平分线,$DE// BC$,交 AB 于点 E.
(1) 求证:$∠EBD= ∠EDB;$
证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD=∠EBD.∵DE//BC，∴∠CBD=∠EDB.∴∠EBD=∠EDB；
(2) 当$AB= AC$时,请判断 CD 与 ED 的大小关系,并说明理由.
解：CD=ED，理由如下：
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC.∵DE//BC，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC.∴∠ADE=∠AED.∴AD=AE.∴CD=BE.由(1)得，∠EBD=∠EDB，∴BE=DE.∴CD=ED.

答案：
(1) 证明：
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠CBD=∠EBD.
∵DE//BC，
∴∠CBD=∠EDB.
∴∠EBD=∠EDB；
(2) 解：CD=ED，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC.
∵DE//BC，
∴∠ADE=∠C，∠AED=∠ABC.
∴∠ADE=∠AED.
∴AD=AE.
∴CD=BE.由
(1)得，∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE.
∴CD=ED.

10. 如图,在等腰直角三角形 ABC 中,$∠ACB= 90^{\circ }$,D 为 BC 的中点,$DE⊥AB$,垂足为 E,过点 B 作$BF// AC$交 DE 的延长线于点 F,连接 CF,交 AD 于点 G.
(1) 求证:$AD⊥CF;$
证明：在等腰直角三角形ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°.∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°.∴∠BDE=45°.∵BF//AC，∴∠CBF=90°.∴∠BFD=45°=∠BDE.∴BF=DB.∵D为BC的中点，∴CD=DB.∴BF=CD.在△CBF和△ACD中，
$\left\{ \begin{array}{l} BF = CD, \\ ∠CBF = ∠ACD = 90°, \\ CB = AC, \end{array} \right. $
∴△CBF≌△ACD(SAS).∴∠BCF=∠CAD.又∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°.∴AD⊥CF；
(2) 连接 AF,试判断$\triangle ACF$的形状,并说明理由.
等腰三角形.理由：由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD.∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF.∴AF=AD.∴CF=AF.∴△ACF是等腰三角形.

答案：
(1) 证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°.
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°.
∴∠BDE=45°.
∵BF//AC，
∴∠CBF=90°.
∴∠BFD=45°=∠BDE.
∴BF=DB.
∵D为BC的中点，
∴CD=DB.
∴BF=CD.在△CBF和△ACD中，
$\left\{ \begin{array}{l} BF = CD, \\ ∠CBF = ∠ACD = 90°, \\ CB = AC, \end{array} \right. $
∴△CBF≌△ACD(SAS).
∴∠BCF=∠CAD.又
∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°.
∴AD⊥CF；
(2) △ACF是等腰三角形.理由：由
(1)知：△CBF≌△ACD，
∴CF=AD.
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF.
∴AF=AD.
∴CF=AF.
∴△ACF是等腰三角形.

11. (2024 秋·安庆期末)在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点 D 是边 AB 上一点,$∠BCD= ∠A.$
(1) 如图①,证明:$CD= CB;$
证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵∠BDC是△ADC的一个外角，∴∠BDC=∠A+∠ACD.∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，∴∠BDC=∠ACB.∴∠ABC=∠BDC.∴CD=CB；
(2) 如图②,过点 B 作$BE⊥AC$,垂足为 E,BE 与 CD 相交于点 F.
① 证明:$∠BCD= 2∠CBE;$
证明：∵BE⊥AC，∴∠BEC=90°.∴∠CBE+∠ACB=90°.设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α.∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α.∴∠BCD=2∠CBE；
② 如果$\triangle BDF$是等腰三角形,求$∠A$的度数.
解：∵∠BFD是△CBF的一个外角，∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α.分三种情况：当BD=BF时，∴∠BDC=∠BFD=3α.∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，∴90°−α=3α.∴α=22.5°.∴∠A=∠BCD=2α=45°；当DB=DF时，∴∠DBE=∠BFD=3α.∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，∴90°−2α=3α.∴α=18°.∴∠A=∠BCD=2α=36°；当FB=FD时，∴∠DBE=∠BDF.∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，∴不存在FB=FD.综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°.

答案：
(1) 证明：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠BDC是△ADC的一个外角，
∴∠BDC=∠A+∠ACD.
∵∠ACB=∠BCD+∠ACD，∠BCD=∠A，
∴∠BDC=∠ACB.
∴∠ABC=∠BDC.
∴CD=CB；
(2) ① 证明：
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°.
∴∠CBE+∠ACB=90°.设∠CBE=α，则∠ACB=90°−α，
∴∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α.
∴∠BCD=180°−∠BDC−∠ABC=180°−(90°−α)−(90°−α)=2α.
∴∠BCD=2∠CBE；
② 解：
∵∠BFD是△CBF的一个外角，
∴∠BFD=∠CBE+∠BCD=α+2α=3α.分三种情况：当BD=BF时，
∴∠BDC=∠BFD=3α.
∵∠ACB=∠ABC=∠BDC=90°−α，
∴90°−α=3α.
∴α=22.5°.
∴∠A=∠BCD=2α=45°；当DB=DF时，
∴∠DBE=∠BFD=3α.
∵∠DBE=∠ABC−∠CBE=90°−α−α=90°−2α，
∴90°−2α=3α.
∴α=18°.
∴∠A=∠BCD=2α=36°；当FB=FD时，
∴∠DBE=∠BDF.
∵∠BDF=∠ABC＞∠DBF，
∴不存在FB=FD.综上所述：如果△BDF是等腰三角形，∠A的度数为45°或36°.