《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

1. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,有点 $ A(3,0),B(0,4) $,若有直角三角形与 $ Rt\triangle ABO $ 全等且它们只有一条公共直角边,请写出这些直角三角形各顶点的坐标.(至少写出三个)

答案： 解:①若以BO为公共边，直角三角形的顶点坐标分别为(0,0)、(0,4)、(−3,0)或(0,0)、(0,4)、(−3,4);②若以AO为公共边，直角三角形的顶点坐标分别为(0,0)、(3,0)、(0,−4)或(0,0)、(3,0)、(3,−4).

2. 在平面直角坐标系中有一点 $ P(5,5),M(0,m) $ 为 $ y $ 轴上任意一点,$ N $ 为 $ x $ 轴上任意一点,且 $ \angle MPN = 90^{\circ} $.
(1) 如图①,当 $ m = 5 $ 时,$ OM + ON $ 的值为______10;
(2) 如图②,当 $ 0 ＜ m ＜ 5 $ 时,$ OM + ON $ 的值是否改变? 说明你的理由;
(3) 如图③,探索:当 $ m ＜ 0 $ 时,$ OM $ 与 $ ON $ 的数量关系为______OM = ON - 10.

答案： 解:
(1)10
(2)当0＜m＜5 时,OM+ON的值不改变，理由:过点P作PA⊥y轴于点A，PB⊥x轴于点B,则∠APB = 90°，PA = PB = 5.
∵∠MPN = 90°，
∴∠APM = ∠BPN.在△APM和△BPN中，$\left\{\begin{array}{l} ∠PAM = ∠PBN = 90^{\circ },\\ PA = PB,\\ ∠APM = ∠BPN,\end{array}\right.$
∴△APM≌△BPN(ASA).
∴AM = BN.
∴OM + ON = OA - AM + OB + BN = OA + OB = 10;
(3)OM = ON - 10

3. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ},AC = 6,BC = 8 $.点 $ P $ 从点 $ A $ 出发,沿折线 $ AC - CB $ 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 $ B $ 运动,点 $ Q $ 从点 $ B $ 出发沿折线 $ BC - CA $ 以每秒 3 个单位长度的速度向终点 $ A $ 运动,$ P、Q $ 两点同时出发.分别过 $ P、Q $ 两点作 $ PE \perp l $ 于点 $ E,QF \perp l $ 于点 $ F $.设点 $ P $ 的运动时间为 $ t $(秒).
(1) 当 $ P、Q $ 两点相遇时,求 $ t $ 的值;$\frac{7}{2}$
(2) 在整个运动过程中,求 $ CP $ 的长;(用含 $ t $ 的代数式表示)$\left\{\begin{array}{l} 6 - t(0 ＜ t\leq6),\\ t - 6(6 ＜ t\leq14)\end{array}\right.$
(3) 当 $ \triangle PEC $ 与 $ \triangle QFC $ 全等时,直接写出所有满足条件的 $ t $ 的值.1或3.5或12

答案： 解:
(1)由题意得t + 3t = 6 + 8，解得t = $\frac{7}{2}$.
∴当P、Q两点相遇时，t的值为$\frac{7}{2}$;
(2)由题意可知AP = t，则CP的长为$\left\{\begin{array}{l} 6 - t(0 ＜ t\leq6),\\ t - 6(6 ＜ t\leq14);\end{array}\right.$
(3)当点P在AC上，点Q在BC上时，
∵∠ACB = 90°，
∴∠PCE + ∠QCF = 90°.
∵PE⊥l，QF⊥l，
∴∠EPC + ∠PCE = 90°，∠PEC = ∠CFQ = 90°.
∴∠EPC = ∠QCF.
∴△PCE≌△CQF.
∴PC = CQ.
∴6 - t = 8 - 3t，解得t = 1.当点P在AC上，点Q在AC上，即点P、Q重合时，则CQ = PC.由题意得，6 - t = 3t - 8，解得t = 3.5.当点P在BC上，点Q在AC上时，即点A、Q重合时，则CQ = AC = 6，CP = t - 6 = 6，解得t = 12.综上，当t = 1或3.5或12时，△PEC与△QFC全等.