《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

11. 多项式 $ a x ^ { 2 } - a $ 与多项式 $ x ^ { 2 } - 2 x + 1 $ 的公因式是$x - 1$.

答案： $x - 1$

12. 已知 $ M = m - 4 $,$ N = m ^ { 2 } - 3 m $,则 $ M $ 与 $ N $ 的大小关系为 $ M $$\leqslant$$ N $(填“$ \geqslant $”或“$ \leqslant $”).

答案： $\leqslant$

13. 将下列各式分解因式:
(1) $ - 2 x y - x ^ { 2 } - y ^ { 2 } $; (2) $ ( x - y ) ^ { 2 } + 4 x y $.

答案：
(1) $-(x + y)^2$
(2) $(x + y)^2$

14. (1) 分解下列因式,将结果直接写在横线上:
$ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = $$(x - 3)^2$;$ 25 x ^ { 2 } + 10 x + 1 = $$(5x + 1)^2$;$ 4 x ^ { 2 } + 12 x + 9 = $$(2x + 3)^2$;
(2) 观察上述三个多项式的系数,有:
$ ( - 6 ) ^ { 2 } = 4 × 1 × 9 $,
$ 10 ^ { 2 } = 4 × 25 × 1 $,
$ 12 ^ { 2 } = 4 × 4 × 9 $.
于是小明猜测:若多项式 $ a x ^ { 2 } + b x + c ( a ＞ 0 ) $ 是完全平方式,那么系数 $ a $、$ b $、$ c $ 之间一定存在某种关系. 请你用数学式子表示小明的猜测:$b^2 = 4ac$;
(3) 已知多项式 $ ( x - a ) ( x - b ) - x ( b - x ) + 2 $ 是一个完全平方式,求 $ ( a - 2 b ) ^ { 2 } $ 的值.
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答案：
(1) $(x - 3)^2$ $(5x + 1)^2$ $(2x + 3)^2$
(2) $b^2 = 4ac$
(3) $(x - a)(x - b) - x(b - x) + 2 = x^2 - ax - bx + ab - bx + x^2 + 2 = 2x^2 - (a + 2b)x + ab + 2$，
∵ 多项式 $(x - a)(x - b) - x(b - x) + 2$ 是一个完全平方式，由
(2)所得规律可知，$[-(a + 2b)]^2 = 4 \times 2(ab + 2)$，
∴ $a^2 + 4ab + 4b^2 = 8ab + 16$。
∴ $a^2 - 4ab + 4b^2 = (a - 2b)^2 = 16$。

15. 我们把二次三项式 $ a x ^ { 2 } + b x + c $ 恒等变形为 $ a ( x + h ) ^ { 2 } + k $($ h $、$ k $ 为常数)的形式叫做配方.巧妙地运用配方法不仅可以将一个多项式进行因式分解,也能求一个二次三项式的最值,还能结合非负数的意义来解决一些实际问题. 例如,分解因式:$ x ^ { 2 } + 4 x - 5 $.
解:$ x ^ { 2 } + 4 x - 5 = x ^ { 2 } + 4 x + 4 - 9 = ( x + 2 ) ^ { 2 } - 3 ^ { 2 } = ( x + 5 ) ( x - 1 ) $.
请用配方法解答下列问题:
(1) 分解因式:① $ x ^ { 2 } + 2 x - 3 $$ x^2 + 2x + 1 - 4 = (x + 1)^2 - 4 = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1)$,② $ a ^ { 2 } + 4 a b - 5 b ^ { 2 } $$ a^2 + 4ab + 4b^2 - 9b^2 = (a + 2b)^2 - 9b^2 = (a + 2b + 3b)(a + 2b - 3b) = (a + 5b)(a - b)$;
(2) 求多项式 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 5 $ 的最小值$ 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$，∵ $(x - 1)^2 \geqslant 0$，故多项式 $2x^2 - 4x + 5$ 的最小值为3;
(3) 已知 $ a $、$ b $、$ c $ 是 $ \triangle A B C $ 的三边长,且满足 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } = a b + b c + c a $,判断 $ \triangle A B C $ 的形状∵ $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$，∴ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$。∴ $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$。∴ $a^2 + b^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2bc + a^2 + c^2 - 2ca = 0$。∴ $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$。∴ $a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$。∴ $a = b = c$，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形.

答案：
(1) ① 原式 $= x^2 + 2x + 1 - 4 = (x + 1)^2 - 4 = (x + 1 + 2)(x + 1 - 2) = (x + 3)(x - 1)$；② 原式 $= a^2 + 4ab + 4b^2 - 9b^2 = (a + 2b)^2 - 9b^2 = (a + 2b + 3b)(a + 2b - 3b) = (a + 5b)(a - b)$；
(2) 原式 $= 2(x^2 - 2x + 1) - 2 + 5 = 2(x - 1)^2 + 3$，
∵ $(x - 1)^2 \geqslant 0$，故多项式 $2x^2 - 4x + 5$ 的最小值为3；
(3)
∵ $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$，
∴ $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$。
∴ $2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca = 0$。
∴ $a^2 + b^2 - 2ab + b^2 + c^2 - 2bc + a^2 + c^2 - 2ca = 0$。
∴ $(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 = 0$。
∴ $a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$。
∴ $a = b = c$，即 $\triangle ABC$ 为等边三角形。