《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

1. 如图,$∠MON= 40^{\circ }$,P 为$∠MON$内一点,A 为 OM 上一点,B 为 ON 上一点,当$△PAB$的周长取最小值时,$∠APB$的度数为 (B)

A.$80^{\circ }$
B.$100^{\circ }$
C.$110^{\circ }$
D.$120^{\circ }$

答案： B

2. 如图,$∠AOB= 25^{\circ }$,M、N 分别是边 OA、OB 上的定点,P、Q 分别是边 OB、OA 上的动点,记$∠MPQ= α,∠PQN= β$,当$MP+PQ+QN$的值最小时,$β-α$的值为____$50^{\circ}$.

答案： $50^{\circ}$

3. 在$△ABC$中,$AB= AC= 10$,AD 是$△ABC$的角平分线,点 E 在 AB 的垂直平分线上,$AE:EC= 3:2$,F 为 AD 上的动点,则$EF+CF$的最小值为6.

答案： 6

4. 如图,在$△ABC$中,$AB= 16,BC= 10$,AM 平分$∠BAC,∠BAM= 15^{\circ }$,D、E 分别为 AM、AB 上的动点,则$BD+DE$的最小值是____8.

答案： 8

5. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,BC= 4,△ABC$的面积为 20,AB 的垂直平分线 EF 分别交 AC、AB 边于点 E、F. 若点 D 为 BC 边的中点,点 M 为线段 EF 上一动点,则$BM+DM$的最小值为10.

答案： 10

6. 如图,点 E 在等边三角形 ABC 的边 BC 上,$BE= 6$,射线$CD⊥BC$于点 C,P 是射线 CD 上一动点,F 是线段 AB 上一动点,当$EP+PF$的值最小时,$BF= 9$,则 AC 的长为____12.

答案： 12

7. 如图,在$Rt△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ },∠A= 60^{\circ },AC= 4$,CD 平分$∠ACB$,交边 AB 于点 D,点 E 是边 AB 的中点. 点 P 为边 CB 上的一个动点.
(1)$∠ACD= $____$^{\circ },AE= $____;
(2)若$△CPD$是等腰三角形,求$∠CPD$的度数;
(3)若点 M 在线段 CD 上,连接 MP、ME,则$MP+ME$的值最小时 CP 的长度=

答案：
解:
(1) 45 4
(2) $ \because $ CD 平分 $ \angle ACB $, $ \therefore \angle PCD = 45^{\circ} $, 当 $ PC = PD $ 时, $ \angle PDC = \angle PCD = 45^{\circ} $. $ \therefore \angle CPD = 180^{\circ} - \angle PDC - \angle PCD = 90^{\circ} $; 当 $ DP = DC $ 时, $ \angle CPD = \angle PCD = 45^{\circ} $; 当 $ CP = CD $ 时, $ \angle CPD = \angle CDP = (180^{\circ} - 45^{\circ}) \div 2 = 67.5^{\circ} $; 综上, $ \angle CPD $ 的度数为 $ 90^{\circ} $ 或 $ 45^{\circ} $ 或 $ 67.5^{\circ} $;
(3) 如图, 点 M 在 CD 上, 且 $ MP \perp BC $, 作点 P 关于 CD 的对称点 $ P' $, $ \because MP \perp BC $, $ \therefore MP' \perp AC $. $ \because $ CD 平分 $ \angle ACB $, $ \therefore \angle PCM = \angle P'CM $, 在 $ \triangle PCM $ 和 $ \triangle P'CM $ 中, $ \left\{ \begin{array} { l } { \angle MPC = \angle MP'C, } \\ { \angle PCM = \angle P'CM, } \\ { CM = CM, } \end{array} \right. $ $ \therefore \triangle PCM \cong \triangle P'CM $ (AAS), $ \therefore PM = P'M $, $ CP = CP' $, $ \because MP + ME = MP' + ME \geq EP' $, $ \therefore $ 当点 E、M、$ P' $ 三点共线时, $ MP + ME $ 的值最小, 又 $ \because $ 根据垂线段最短, $ \therefore $ 当 $ EP' \perp AC $ 时, $ EP' $ 有最小值, $ \therefore EP' // BC $, $ \therefore \angle AEP' = \angle B = 30^{\circ} $, $ \angle AP'E = \angle ACB = 90^{\circ} $, $ \because AE = 4 $, $ \therefore AP' = \frac { 1 } { 2 } AE = 2 $, $ \therefore CP = CP' = AC - AP' = 2 $.