《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

5. 如图,点$M为正方形ABCD的边AB$上任意一点,$MN⊥DM且与∠ABC外角的角平分线交于点N$,$MD与MN$有怎样的数量关系? 说明理由.

答案： 解：$MD = MN$。
理由如下：
在$AD$上截取$AF = AM$，连接$FM$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AD = AB$，$\angle A=\angle ABC = 90^{\circ}$。
因为$AF = AM$，所以$DF = MB$，$\angle AFM=\angle AMF = 45^{\circ}$，则$\angle DFM = 135^{\circ}$。
因为$BN$平分$\angle CBE$，$\angle CBE = 90^{\circ}$，所以$\angle NBE = 45^{\circ}$，$\angle MBN = 135^{\circ}$。
因为$MN\perp DM$，所以$\angle DMN = 90^{\circ}$，$\angle ADM+\angle AMD = 90^{\circ}$，$\angle NMB+\angle AMD = 90^{\circ}$，所以$\angle ADM=\angle NMB$。
在$\triangle DFM$和$\triangle MBN$中：
$\begin{cases}\angle DFM=\angle MBN\\DF = MB\\\angle FDM=\angle BMN\end{cases}$
所以$\triangle DFM\cong\triangle MBN$（$ASA$）。
所以$MD = MN$。
综上，$MD$与$MN$的数量关系是$MD = MN$。

6. 五边形$ABCDE$中,$AB = AE$,$BC + DE = CD$,$∠ABC + ∠AED = 180^{\circ}$,求证:$AD平分∠CDE$.

证明：延长$DE$至$F$，使$EF = BC$，连接$AF$。
$\because\angle ABC+\angle AED = 180^{\circ}$，$\angle AEF+\angle AED=180^{\circ}$
$\therefore\angle ABC=\angle AEF$
在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中
$\left\{\begin{array}{l}AB = AE\\\angle ABC=\angle AEF\\BC = EF\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle AEF$(SAS)
$\therefore AC = AF$
$\because BC + DE=CD$，$EF = BC$
$\therefore CD=DE + EF=$$DF$
在$\triangle ACD$和$\triangle AFD$中
$\left\{\begin{array}{l}AC = AF\\CD = DF\\AD = AD\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ACD\cong\triangle AFD$(SSS)
$\therefore\angle ADC=$$\angle ADF$
即$AD$平分$\angle CDE$。

答案： 延长$DE$至$F$，使$EF = BC$，连接$AF$。
$\because\angle ABC+\angle AED = 180^{\circ}$，$\angle AEF+\angle AED=180^{\circ}$
$\therefore\angle ABC=\angle AEF$
在$\triangle ABC$和$\triangle AEF$中
$\left\{\begin{array}{l}AB = AE\\\angle ABC=\angle AEF\\BC = EF\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ABC\cong\triangle AEF(SAS)$
$\therefore AC = AF$
$\because BC + DE=CD$，$EF = BC$
$\therefore CD=DE + EF=DF$
在$\triangle ACD$和$\triangle AFD$中
$\left\{\begin{array}{l}AC = AF\\CD = DF\\AD = AD\end{array}\right.$
$\therefore\triangle ACD\cong\triangle AFD(SSS)$
$\therefore\angle ADC=\angle ADF$
即$AD$平分$\angle CDE$。

7. 已知$\triangle ABC$中,$∠BAC = 60^{\circ}$,$∠ABC = 80^{\circ}$,$∠A$、$∠B的平分线分别交BC$、$CA于P$、$Q$. 求证:$AB + BP = AQ + BQ$.

答案： 证明：在$\triangle ABC$中，$\angle C=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC = 40^{\circ}$。
因为$AP$平分$\angle BAC$，$BQ$平分$\angle ABC$，所以$\angle BAP = 30^{\circ}$，$\angle ABQ=\angle QBC = 40^{\circ}$。
在$\triangle ABQ$中，$\angle BQA=180^{\circ}-\angle BAC - \angle ABQ=80^{\circ}=\angle ABC$，所以$AQ = AB$。
在$\triangle BPC$中，$\angle BPC=\angle BAP+\angle ABC = 110^{\circ}$，$\angle PBC = 40^{\circ}$，$\angle BCP = 40^{\circ}$，所以$BP = PC$。
延长$AB$到$D$，使$BD = BP$，则$\angle D=\angle BPD = 40^{\circ}=\angle C$。
又$\angle PAD=\angle PAC$，$AP = AP$，$\triangle APD\cong\triangle APC(AAS)$，$AD = AC$。
因为$\angle QBC=\angle C$，所以$BQ = QC$。
$AD=AB + BD=AB + BP$，$AC=AQ + QC=AQ + BQ$。
所以$AB + BP=AQ + BQ$。