《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

10. 填空:$ ( 2 - x + 2 y ) ^ { 2 } = [ 2 - (x - 2y) ] ^ { 2 } $.

答案： $ x - 2y $

11. 先化简,再求值:$ ( 2 a - b ) ^ { 2 } - ( a + 1 - b ) ( a + 1 + b ) + ( a + 1 ) ^ { 2 } $,其中$ a = \frac { 1 } { 2 } $,$ b = - 2 $.
原式$=4a^{2}-4ab+b^{2}-(a+1)^{2}+b^{2}+(a+1)^{2}=4a^{2}-4ab+b^{2}+b^{2}=4a^{2}-4ab+2b^{2}$，当$a=\frac{1}{2}$，$b=-2$时，原式$=4×\frac{1}{4}-4×\frac{1}{2}×(-2)+2×4=1+4+8=$13.

答案： 原式 $ = 4a^{2} - 4ab + b^{2} - (a + 1)^{2} + b^{2} + (a + 1)^{2} = 4a^{2} - 4ab + b^{2} + b^{2} = 4a^{2} - 4ab + 2b^{2} $，当 $ a = \frac{1}{2} $，$ b = -2 $ 时，原式 $ = 4 \times \frac{1}{4} - 4 \times \frac{1}{2} \times (-2) + 2 \times 4 = 1 + 4 + 8 = 13 $。

12. 已知$ x + \frac { 1 } { x } = 3 $,求下列各式的值:
(1)$ \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } $;
(2)$ x ^ { 4 } + \frac { 1 } { x ^ { 4 } } $.

答案： 解：
(1) $ \because (x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} $，$ \therefore (x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = x^{2} + 2x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} - 4x \cdot \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4x \cdot \frac{1}{x} = 3^{2} - 4 = 5 $；
(2) $ \because (x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}} $，$ \therefore x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x - \frac{1}{x})^{2} + 2 = 5 + 2 = 7 $。$ \because (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} = x^{4} + 2 + \frac{1}{x^{4}} $，$ \therefore x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x^{2}})^{2} - 2 = 49 - 2 = 47 $。

13. 已知$ \triangle A B C 三边长 a $、$ b $、$ c 满足 a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + c ^ { 2 } - 12 a - 16 b - 20 c + 200 = 0 $,请判断$ \triangle A B C $的形状并说明理由.

答案： 解：$ \triangle ABC $ 为直角三角形。理由：$ \because a^{2} + b^{2} + c^{2} - 12a - 16b - 20c + 200 = a^{2} - 12a + 36 + b^{2} - 16b + 64 + c^{2} - 20c + 100 = (a - 6)^{2} + (b - 8)^{2} + (c - 10)^{2} = 0 $，$ \therefore a - 6 = 0 $，$ b - 8 = 0 $，$ c - 10 = 0 $。$ \therefore a = 6 $，$ b = 8 $，$ c = 10 $。$ \therefore a^{2} + b^{2} = 36 + 64 = 100 = c^{2} $。$ \therefore \triangle ABC $ 为直角三角形。

14. 在学习整式乘法时,教材用拼图推演得到了整式的乘法法则和乘法公式. 这样,我们借助图形往往能把复杂的数学问题变得简明、形象. 如图1,边长为$ a $的正方形是用两个边长分别为 $ a - b $,$ b $的正方形①②(阴影部分)和两个长方形③④拼接而成. 观察图形,解答下列问题:
(1) 请用两种不同的方法表示图1中边长为$ a $的正方形的面积,并用图1中三个正方形的面积$ a ^ { 2 } $、$ b ^ { 2 } $、$ ( a - b ) ^ { 2 } $表示 $ a b $;
方法一：大正方形面积为$a^{2}$；方法二：$(a - b)^{2} + b^{2} + 2(a - b)b$；$ab=$$\frac{1}{2}[a^{2} + b^{2} - (a - b)^{2}]$；
(2) 运用你发现的结论,解决下列问题:
① 已知$ ( 2 x - y + 3 ) ^ { 2 } + ( y - 2 x ) ^ { 2 } = 10 $,求$ ( 2 x - y + 3 ) ( 2 x - y ) $的值;
$\frac{1}{2}$
② 如图2是由3个正方形$ A B C D $、$ B M N R $、$ B E Q K $和1个长方形$ B R P K $拼接而成,若$ A E = 2 $,$ C G = 4 $,长方形$ B M H E $的面积为15,设阴影部分正方形的面积分别为$ S _ { 1 } $、$ S _ { 2 } $,求$ S _ { 1 } + S _ { 2 } $的值.
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答案： 解：
(1) 方法一：大正方形面积为 $ a^{2} $；方法二：$ (a - b)^{2} + b^{2} + 2(a - b)b $；①②两个小正方形面积分别为 $ (a - b)^{2} $ 和 $ b^{2} $，③④长方形的面积都为 $ (a - b)b $，$ \therefore a^{2} = (a - b)^{2} + b^{2} + 2(a - b)b $，$ \therefore ab = \frac{1}{2}[a^{2} + b^{2} - (a - b)^{2}] $；
(2) ① 由已知得 $ (2x - y + 3)^{2} + (2x - y)^{2} = 10 $，设 $ a = 2x - y + 3 $，$ b = 2x - y $，则有 $ a^{2} + b^{2} = 10 $，$ a - b = 3 $，$ \therefore (a - b)^{2} = 9 $，$ \therefore (2x - y + 3)(2x - y) = ab = \frac{1}{2}[a^{2} + b^{2} - (a - b)^{2}] = \frac{10 - 9}{2} = \frac{1}{2} $；② 设正方形 $ BMNR $、$ BEQK $ 的边长分别为 $ a $，$ b $，由题意 $ ab = 15 $，$ \because AE = 2 $，$ CG = 4 $，$ AB = b + 2 $，$ AC = a + 4 $，由正方形 $ ABCD $ 得 $ b + 2 = a + 4 $，即 $ b - a = 2 $，由
(1)得 $ a^{2} + b^{2} = (b - a)^{2} + 2ab $，$ \therefore S_{1} + S_{2} = a^{2} + b^{2} = (b - a)^{2} + 2ab = 2^{2} + 2 \times 15 = 34 $。