《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

7. 如图,在$△AOB和△COD$中,$OA = OB$,$OC = OD$,$OA ＜ OC$,$∠AOB = ∠COD = 36^{\circ}$。连接$AC$,$BD交于点M$,连接$OM$。有下列结论：①$∠AMB = 36^{\circ}$；②$AC = BD$；③$OM平分∠AOD$；④$MO平分∠AMD$。其中正确的结论有(B)

A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个

答案： B

8. 如图,已知$∠ABC$、$∠EAC的角平分线BP$、$AP相交于点P$,$PM⊥BE$,$PN⊥BF$,垂足分别为$M$、$N$。现有四个结论：①$CP平分∠ACF$；②$∠BPC= \frac{1}{2}∠BAC$；③$∠APC = 90^{\circ}-\frac{1}{2}∠ABC$；④$S_{△APM} + S_{△CPN} ＞ S_{△APC}$。其中正确的结论是(C)

A. ①②④
B. ①④
C. ①②③
D. ②③④

答案： C

9. 如图,在$△ABC$中,$BM = MC$,$∠ABM = ∠ACM$。求证：$AM平分∠BAC$。
证明: 过点M作MG⊥AB，MH⊥AC，垂足分别为G、H。∵∠ABM = ∠ACM，∴∠GBM = ∠HCM。在△BGM和△CHM中，$\begin{cases}\angle GBM = \angle HCM\\\angle BGM = \angle CHM = 90^{\circ}\\BM = CM\end{cases}$，∴△BGM ≌ △CHMAAS，∴MG = MH。又∵MG⊥AB，MH⊥AC，∴AM平分∠BAC。

答案： 证明: 过点M作MG⊥AB，MH⊥AC，垂足分别为G、H。
∵∠ABM = ∠ACM，
∴∠GBM = ∠HCM。在△BGM和△CHM中，$\begin{cases}\angle GBM = \angle HCM\\\angle BGM = \angle CHM = 90^{\circ}\\BM = CM\end{cases}$，
∴△BGM ≌ △CHM，
∴MG = MH。又
∵MG⊥AB，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC。

10. 如图,在$△ABC$中,$∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P$,$PD⊥AC于点D$,$PH⊥BA$,交$BA的延长线于点H$。
(1)若点$P到直线BA的距离为5cm$,求点$P到直线BC$的距离；5cm
(2)求证：点$P在∠HAC$的平分线上。
证明: ∵点P在∠ACE的平分线上，PH⊥BA，PF⊥BE，∴PF = PD。∵PF = PH，∴PD = PH。∵PD⊥AC，PH⊥BA，∴点P在∠HAC的平分线上。

答案：
(1) 解: 过点P作PF⊥BE于F，
∵点P在∠ABC的平分线上，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF = PH = 5cm，即点P到直线BC的距离为5cm；
(2) 证明:
∵点P在∠ACE的平分线上，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PF = PD。
∵PF = PH，
∴PD = PH。
∵PD⊥AC，PH⊥BA，
∴点P在∠HAC的平分线上。

11. 已知$C为射线AD$上一点,$∠DAP = ∠PBC$,$PA = PB$。
(1)如图①,求证：$CP平分∠DCB$；
(2)如图②,$AP与BC交于点M$,若$∠APB = 2∠CPA$。求证：$BM = AC + CM$。

答案：
证明:
(1) 如图①，过P作PE⊥BC于E，PF⊥AD于F，则∠BEP = ∠AFP = 90°。在△BEP和△AFP中，$\begin{cases}\angle BEP = \angle AFP\\\angle B = \angle A\\PB = PA\end{cases}$，
∴△BEP ≌ △AFP(AAS)，
∴PE = PF。又
∵PE⊥BC，PF⊥AD，
∴CP平分∠BCD；
(2) 如图②，作∠BPA的平分线PG，交BC于G，则∠BPG = ∠APG = $\frac{1}{2}$∠APB。又
∵∠APC = $\frac{1}{2}$∠BPA，
∴∠APC = ∠BPG。在△ACP和△BGP中，$\begin{cases}\angle APC = \angle BPG\\AP = BP\\\angle A = \angle B\end{cases}$，
∴△ACP ≌ △BGP(ASA)，
∴AC = BG，PG = PC。又
∵$\begin{cases}PC = PG\\\angle CPM = \angle GPM\\PM = PM\end{cases}$，
∴△CPM ≌ △GPM，
∴CM = GM。
∵BM = BG + GM，
∴BM = AC + CM。