《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

7. 已知$x^{2} - 4x - 1 = 0$,则代数式$x(x - 4) + 1$的值为 (A)
A. 2
B. 1
C. 0
D. $-1$

答案： A

8. (2024春·南京秦淮区期末)若$m^{2} + m - 1 = 0$,则代数式$m^{2}(m + 2)$的值是______1．

答案： 1

9. 方程$3x(7 - x) = 18 - x(3x - 15)$的解为$ x = 3 $．

答案： $ x = 3 $

10. 先化简,再求值；$ab(2a - b) - 2a(ab - b^{2})$,其中$a = -\frac{3}{2}$,$b = -2$．
解：原式 $=2a^{2}b - ab^{2} - 2a^{2}b + 2ab^{2}=$$ab^{2}$，当 $ a = - \frac { 3 } { 2 } $，$ b = - 2 $ 时，原式 $= - \frac { 3 } { 2 } × ( - 2 ) ^ { 2 }=$$-6$。

答案： 解：原式 $ = 2a^{2}b - ab^{2} - 2a^{2}b + 2ab^{2} = ab^{2} $，当 $ a = - \frac { 3 } { 2 } $，$ b = - 2 $ 时，原式 $ = - \frac { 3 } { 2 } \times ( - 2 ) ^ { 2 } = - 6 $。

11. 已知$A = -2x^{2}$,$B = x^{2} - 3x - 1$,$C = -x + 1$,求：
(1) $A \cdot B + A \cdot C$；$- 2 x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 }$
(2) $A \cdot (B - C)$；$- 2 x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 }$
(3) $A \cdot C - B$．$2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 3 x + 1$

答案： 解：
(1) $ A \cdot B + A \cdot C = - 2 x ^ { 2 } \cdot ( x ^ { 2 } - 3 x - 1 ) - 2 x ^ { 2 } \cdot ( - x + 1 ) = - 2 x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 2 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } = - 2 x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } $；
(2) $ A \cdot ( B - C ) = - 2 x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 3 x - 1 + x - 1 ) = - 2 x ^ { 2 } ( x ^ { 2 } - 2 x - 2 ) = - 2 x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } + 4 x ^ { 2 } $；
(3) $ A \cdot C - B = - 2 x ^ { 2 } ( - x + 1 ) - ( x ^ { 2 } - 3 x - 1 ) = 2 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } + 3 x + 1 = 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + 3 x + 1 $。

12. (2024秋·成都期末)学习代数式求值时,遇到这样一类题“代数式$ax - y + 6 + 3x - 5y - 1的值与x$的取值无关,求$a$的值”,通常的解题方法是：把$x$,$y$看作字母,$a$看作系数,合并同类项,因为代数式的值与$x$的取值无关,所以含$x$项的系数为0,即原式为$(a + 3)x - 6y + 5$,所以$a + 3 = 0$,则$a = -3$．
(1) 若关于$x的多项式(2x - 3)m + 2m^{2} - 3x的值与x$的取值无关,求$m$值；
解：$ ( 2 x - 3 ) m + 2 m ^ { 2 } - 3 x = 2 m x - 3 m + 2 m ^ { 2 } - 3 x = ( 2 m - 3 ) x + 2 m ^ { 2 } - 3 m $，$ \because $ 该式的值与 $ x $ 的取值无关，$ \therefore 2 m - 3 = 0 $，解得：$ m = $$\frac{3}{2}$；
(2) 已知$A = (2x^{2} - x - 1) - (x - 3xy)$,$B = -x^{2} + xy - 1$,且$3A + 6B的值与x$取值无关,求$y$的值；
解：$ A = ( 2 x ^ { 2 } - x - 1 ) - ( x - 3 x y ) = 2 x ^ { 2 } - x - 1 - x + 3 x y = 2 x ^ { 2 } + 3 x y - 2 x - 1 $，$ \because B = - x ^ { 2 } + x y - 1 $，$ \therefore 3 A + 6 B = 3 ( 2 x ^ { 2 } + 3 x y - 2 x - 1 ) + 6 ( - x ^ { 2 } + x y - 1 ) = 6 x ^ { 2 } + 9 x y - 6 x - 3 - 6 x ^ { 2 } + 6 x y - 6 = 15 x y - 6 x - 9 = ( 15 y - 6 ) x - 9 $，$ \because $ 该式的值与 $ x $ 的取值无关，$ \therefore 15 y - 6 = 0 $，解得：$ y = $$\frac{2}{5}$；
(3) 有7张如图①的小长方形,长为$a$,宽为$b$,按照图②方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分),设右上角的面积为$S_{1}$,左下角的面积为$S_{2}$,当$AB$的长变化时,$2S_{1} - 3S_{2}$的值始终保持不变,求$a与b$之间的等量关系．
解：由题意得 $ A D = a + 2 b $，设 $ A B = s $，则 $ S _ { 1 } = a ( s - 3 b ) = a s - 3 a b $，$ S _ { 2 } = 2 b ( s - 2 a ) = 2 b s - 4 a b $，那么 $ 2 S _ { 1 } - 3 S _ { 2 } = 2 ( a s - 3 a b ) - 3 ( 2 b s - 4 a b ) = 2 a s - 6 a b - 6 b s + 12 a b = 2 a s - 6 b s + 6 a b = 2 ( a - 3 b ) s + 6 a b $，$ \because $ 当 $ A B $ 的长变化时，$ 2 S _ { 1 } - 3 S _ { 2 } $ 的值始终保持不变，$ \therefore $$a - 3b = 0$。

答案： 解：
(1) $ ( 2 x - 3 ) m + 2 m ^ { 2 } - 3 x = 2 m x - 3 m + 2 m ^ { 2 } - 3 x = ( 2 m - 3 ) x + 2 m ^ { 2 } - 3 m $，$ \because $ 该式的值与 $ x $ 的取值无关，$ \therefore 2 m - 3 = 0 $，解得：$ m = \frac { 3 } { 2 } $；
(2) $ A = ( 2 x ^ { 2 } - x - 1 ) - ( x - 3 x y ) = 2 x ^ { 2 } - x - 1 - x + 3 x y = 2 x ^ { 2 } + 3 x y - 2 x - 1 $，$ \because B = - x ^ { 2 } + x y - 1 $，$ \therefore 3 A + 6 B = 3 ( 2 x ^ { 2 } + 3 x y - 2 x - 1 ) + 6 ( - x ^ { 2 } + x y - 1 ) = 6 x ^ { 2 } + 9 x y - 6 x - 3 - 6 x ^ { 2 } + 6 x y - 6 = 15 x y - 6 x - 9 = ( 15 y - 6 ) x - 9 $，$ \because $ 该式的值与 $ x $ 的取值无关，$ \therefore 15 y - 6 = 0 $，解得：$ y = \frac { 2 } { 5 } $；
(3) 由题意得 $ A D = a + 2 b $，设 $ A B = s $，则 $ S _ { 1 } = a ( s - 3 b ) = a s - 3 a b $，$ S _ { 2 } = 2 b ( s - 2 a ) = 2 b s - 4 a b $，那么 $ 2 S _ { 1 } - 3 S _ { 2 } = 2 ( a s - 3 a b ) - 3 ( 2 b s - 4 a b ) = 2 a s - 6 a b - 6 b s + 12 a b = 2 a s - 6 b s + 6 a b = 2 ( a - 3 b ) s + 6 a b $，$ \because $ 当 $ A B $ 的长变化时，$ 2 S _ { 1 } - 3 S _ { 2 } $ 的值始终保持不变，$ \therefore a - 3 b = 0 $。