《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

9. 小明把一副含$45^{\circ}$角、$30^{\circ}$角的三角尺如图摆放,其中$\angle C = \angle F = 90^{\circ}$,$\angle A = 45^{\circ}$,$\angle D = 30^{\circ}$,则$\alpha + \beta$等于(B)

A. $180^{\circ}$
B. $210^{\circ}$
C. $360^{\circ}$
D. $270^{\circ}$

答案： B

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A = 78^{\circ}$,$\angle ACD是\triangle ABC$的一个外角,$\angle EBC = \frac{1}{3}\angle ABC$,$\angle ECD = \frac{1}{3}\angle ACD$,则$\angle E$的度数为(B)

A. $22^{\circ}$
B. $26^{\circ}$
C. $28^{\circ}$
D. $30^{\circ}$

答案： B

11. 如图是可调躺椅示意图(数据如图),$AE与BD的交点为C$,且$\angle A$、$\angle B$、$\angle E$保持不变。为了舒适,需调整$\angle D$的大小,使$\angle EFD = 110^{\circ}$,则图中$\angle D$应减少10度。

答案： 10

12. 如图,$a // b$,$\angle 1 + \angle 2 = 75^{\circ}$,则$\angle 3 + \angle 4 = $105°。

答案： 105°

13. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle B = 40^{\circ}$,三角形的外角$\angle DAC和\angle ACF的平分线交于点E$,则$\angle AEC = $70°。

答案： 70°

14. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$CD \perp AB于点D$,$AE$是角平分线,$AE$、$CD相交于点F$。
(1) 求证：$\angle CEF = \angle CFE$；
(2) 若$\angle B = 60^{\circ}$,点$G是AB上的动点且\triangle BEG$是直角三角形,则$\angle AEG = $______$^{\circ}$。

答案：
解:
(1)如图，过点E作EM⊥AB于M。
∵EM⊥AB，CD⊥AB，AE平分∠CAB，
∴∠EMD=∠CDA=90°，∠CAE=∠MAE。
∴∠EMD=∠ECA，EM//CD。
∴180°−∠CAE−∠ACE=180°−∠MAE−∠AME。
∴∠FEM=∠CFE，∠AEC=∠AEM。
∴∠CEF=∠CFE；　
(2)75°或15°

15. 定义：如果一个三角形的两个内角$\alpha与\beta$满足：$\alpha + 2\beta = 90^{\circ}$,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”。
(1) 若$\triangle ABC$是“准互余三角形”,$\angle C ＞ 90^{\circ}$,$\angle B = 60^{\circ}$,则$\angle A = $______15°；
(2) 如图,$\triangle ABC$是直角三角形,$\angle ACB = 90^{\circ}$。
① 若$AD是\angle BAC$的平分线,则$\triangle ABD$是“准互余三角形”吗？并说明理由；
② 若点$E是边BC$上一点,$\triangle ABE$是“准互余三角形”,$\angle B = 24^{\circ}$,求$\angle EAC$的度数。
①△ABD是“准互余三角形”，理由:∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAC=2∠BAD。∵∠ACB=90°，∴∠BAC+∠B=90°。∴2∠BAD+∠B=90°。∴△ABD是“准互余三角形”；②∵△ABE是“准互余三角形”，∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°。∵∠ABC=24°，∴∠EAB=42°或∠EAB=33°。当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠BAE=24°。当∠EAB=33°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠BAE=33°。∴∠EAC=33°或24°。

答案： 解:
(1)15°；　
(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由:
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC=2∠BAD。
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠B=90°。
∴2∠BAD+∠B=90°。
∴△ABD是“准互余三角形”；　②
∵△ABE是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°。
∵∠ABC=24°，
∴∠EAB=42°或∠EAB=33°。当∠EAB=42°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠BAE=24°。当∠EAB=33°，∠ABC=24°时，∠EAC=90°−∠ABC−∠BAE=33°。
∴∠EAC=33°或24°。