《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

8. 一副三角板如图叠放在一起,则图中∠α的度数是______105°.

答案： 105°

9. (2024·南京二模)如图,在四边形ABCD中,AB= AC= AD,∠1= 72°,若∠3= ∠2,则∠4= ______°.

78

答案： 78

10. 如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,BE为角平分线,若∠BFC= 110°,则∠BCF的度数为______50°.

答案： 50°

11. 在△ABC中,D为边BC上一点,请回答下列问题:
(1) 如图①,若∠DAC= ∠B,△ABC的角平分线CE交AD于点F,试说明∠AEF= ∠AFE;
(2) 在(1)的条件下,如图②,△ABC的外角∠ACQ的平分线CP交BA的延长线于点P,若∠P= 26°,猜想∠CFD的度数为64°,并说明理由.

答案： 解：
(1)
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB = ∠ACE。
∵∠B = ∠FAC，
∴∠B + ∠ECB = ∠FAC + ∠ACE。又
∵∠AEF = ∠B + ∠ECB，∠AFE = ∠FAC + ∠ACE，
∴∠AEF = ∠AFE；
(2) ∠CFD = 64°，理由：
∵∠ACE = $\frac{1}{2}$∠ACB，∠ACP = $\frac{1}{2}$∠ACQ，
∴∠ECP = ∠ACE + ∠ACP = $\frac{1}{2}$(∠ACB + ∠ACQ) = 90°。
∴∠P + ∠AEC = 90°。
∵∠AEF = ∠AFE = ∠CFD，
∴∠P + ∠CFD = 90°。
∵∠P = 26°，
∴∠CFD = 64°。

12. (2024·青岛一模)
【探究1】如图①,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB//CD,∠ABC= 30°,∠ADC= 36°,则∠AEC= ______°;
【探究2】如图②,∠BAD的三等分线AE与∠BCD的三等分线CE交于点E,∠EAD= $\frac{1}{3}$∠BAD,∠BCE= $\frac{1}{3}$∠BCD,AB//CD,∠ABC= 30°,∠ADC= 36°,则∠AEC= ______°;
【探究3】如图③,∠BAD的n等分线AE与∠BCD的n等分线CE交于点E,∠EAD= $\frac{1}{n}$∠BAD,∠BCE= $\frac{1}{n}$∠BCD,AB//CD,∠ABC= x°,∠ADC= y°,则∠AEC= ______°(用含x,y,n的式子表示).

答案：
解：[探究1]过点E作EF//AB，如图所示。
∵EF//AB，AB//CD，
∴AB//EF//CD。
∴∠FEA = ∠BAE，∠FEC = ∠DCE。
∴∠FEA + ∠FEC = ∠BAE + ∠DCE，即∠AEC = ∠BAE + ∠DCE。
∵AB//CD，
∴∠BCD = ∠ABC = 30°，∠BAD = ∠ADC = 36°。
∵AE平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAE = $\frac{1}{2}$∠BAD = $\frac{1}{2}$×36° = 18°，∠DCE = $\frac{1}{2}$∠BCD = $\frac{1}{2}$×30° = 15°。
∴∠AEC = ∠BAE + ∠DCE = 18° + 15° = 33°； [探究2]同理可证：∠AEC = ∠BAE + ∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠BCD = ∠ABC = 30°，∠BAD = ∠ADC = 36°。
∵∠EAD = $\frac{1}{3}$∠BAD，∠BCE = $\frac{1}{3}$∠BCD，
∴∠BAE = $\frac{2}{3}$∠BAD = $\frac{2}{3}$×36° = 24°，∠DCE = $\frac{2}{3}$∠BCD = $\frac{2}{3}$×30° = 20°。
∴∠AEC = ∠BAE + ∠DCE = 24° + 20° = 44°； [探究3]同理可证：∠AEC = ∠BAE + ∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠BCD = ∠ABC = x°，∠BAD = ∠ADC = y°。
∵∠EAD = $\frac{1}{n}$∠BAD，∠BCE = $\frac{1}{n}$∠BCD，∠BAE = $\frac{n - 1}{n}$∠BAD = $\frac{n - 1}{n}$y°，∠DCE = $\frac{n - 1}{n}$∠BCD = $\frac{n - 1}{n}$x°，
∴∠AEC = ∠BAE + ∠DCE = $\frac{n - 1}{n}$y° + $\frac{n - 1}{n}$x° = $\frac{n - 1}{n}$(x + y)°。