《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

4. 在四边形 $ ABCD $ 中,$ \angle ABC + \angle ADC = 180^{\circ},AB = BC $,点 $ E、F $ 分别在射线 $ DA、DC $ 上,满足 $ EF = AE + CF $.
(1) 如图①,若点 $ E、F $ 分别在线段 $ DA、DC $ 上,求证:$ \angle EBF = 90^{\circ} - \frac{1}{2}\angle ADC $;
(2) 如图②,若点 $ E、F $ 分别在线段 $ DA $ 的延长线与 $ DC $ 的延长线上,请直接写出 $ \angle EBF $ 与 $ \angle ADC $ 的数量关系.

答案：
证明:如图①,延长DA至点H，使AH = CF，连接BH.
∵∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠DAB = 360°，∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴∠DAB + ∠BCD = 180°.
∵∠DAB + ∠HAB = 180°，
∴∠BCD = ∠HAB.又
∵AB = BC，AH = CF，
∴△HAB≌△FCB(SAS).
∴BH = BF，∠HBA = ∠CBF.
∵EF = AE + CF，
∴EF = AE + AH = EH.又
∵BH = BF，BE = BE，
∴△BEH≌△BEF(SSS).
∴∠EBF = ∠EBH.
∴∠EBF = ∠EBH = ∠EBA + ∠CBF.
∴∠EBF = $\frac{1}{2}$∠ABC = $\frac{1}{2}$(180° - ∠ADC) = 90° - $\frac{1}{2}$∠ADC;
(2)如图②，在CD的延长线上截取CH = AE，连接BH.
∵∠ABC + ∠BCD + ∠ADC + ∠DAB = 360°，∠ABC + ∠ADC = 180°，
∴∠DAB + ∠BCD = 180°.
∵∠DAB + ∠EAB = 180°，
∴∠BCD = ∠EAB.又
∵AB = BC，AE = CH，
∴△AEB≌△CHB(SAS)，
∴BE = BH，∠EBA = ∠HBC.
∵EF = AE + CF，
∴EF = CH + CF = HF.又
∵BF = BF，BE = BH，
∴△EBF≌△HBF(SSS).
∴∠EBF = ∠HBF.
∵∠EBF + ∠HBF + ∠EBA + ∠ABH = 360°，
∴2∠EBF + ∠HBC + ∠ABH = 360°.
∴2∠EBF + ∠ABC = 360°.
∴2∠EBF + 180° - ∠ADC = 360°.
∴∠EBF = 90° + $\frac{1}{2}$∠ADC.

5. 如图,在等边三角形 $ ABC $ 中,点 $ E $ 是边 $ AC $ 上一定点,点 $ D $ 是射线 $ BC $ 上一动点,以 $ DE $ 为一边作等边三角形 $ DEF $,连接 $ CF $.
【问题解决】如图①,点 $ D $ 与点 $ B $ 重合,求证:$ AE = FC $;
【类比探究】
(1) 如图②,点 $ D $ 在边 $ BC $ 上,求证:$ CE + CF = CD $;
(2) 如图③,点 $ D $ 在边 $ BC $ 的延长线上,请探究线段 $ CE、CF $ 与 $ CD $ 之间存在怎样的数量关系,直接写出你的结论.

答案：
证明:【问题解决】
∵△ABC和△DEF是等边三角形，
∴AB = BC，∠ABC = ∠EDF = 60°，DE = DF.
∴∠ABC - ∠EBC = ∠EDF - ∠EBC，即∠ABE = ∠CBF.在△ABE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l} AB = BC,\\ ∠ABE = ∠CBF,\\ DE = DF,\end{array}\right.$
∴△ABE≌△CBF(SAS).
∴AE = CF;【类比探究】
(1)如图①，在CD上截取CH = CE，连接EH，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ECH = 60°.
∴△CEH是等边三角形.
∴EH = EC = CH，∠CEH = 60°.
∵△DEF是等边三角形，
∴DE = FE，∠DEF = 60°.
∴∠DEH + ∠HEF = ∠FEC + ∠HEF = 60°.
∴∠DEH = ∠FEC.在△DEH和△FEC中，$\left\{\begin{array}{l} DE = FE,\\ ∠DEH = ∠FEC,\\ EH = EC,\end{array}\right.$
∴△DEH≌△FEC(SAS).
∴DH = CF.
∴CD = CH + DH = CE + CF.
∴CE + CF = CD;
(2)线段CE、CF与CD之间的数量关系是FC = CD + CE.