《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

8. 已知等腰三角形ABC中,$AD⊥BC$于点D,且$AD= \frac{1}{2}BC$,则$△ABC$的一个底角的度数为 (C)
A. $45^{\circ}$
B. $75^{\circ}$
C. $45^{\circ}或75^{\circ}或15^{\circ}$
D. $60^{\circ}$

答案： C

9. 如图,$△ABC$中,$AB= 6,∠ABC= 60^{\circ}$,点D在边BC上,且$AD= AC$,若$CD= 2$,则BD的长为 (B)

A. 1.5
B. 2
C. 2.5
D. 3

答案： B

10. 在$△ABC$中,$∠B= 60^{\circ},AB= 4$,若$△ABC$是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是 (C)
A. 1
B. 2
C. 6
D. 8

答案： C

11. 如图,在等边三角形ABC中,D、E分别为AB、BC边上的两动点,且总使$AD= BE$,AE与CD交于点F,$AG⊥CD$于点G,则$\frac{FG}{AF}=$$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$

12. 如图,$△ABC$为等边三角形,$AE= CD$,AD、BE相交于点P,$BQ⊥AD$于点Q,$PQ= 3,PE= 1$.
(1) 求证:$AD= BE$;
证明：∵ △ABC 为等边三角形，∴ ∠BAC = ∠C = 60°，AB = AC。又 ∵ AE = CD，∴ △ABE ≌ △CAD (SAS)。∴ ∠ABE = ∠CAD，BE = AD；
(2) 求AD的长.
∵ ∠BPQ = ∠BAP + ∠ABE = ∠BAP + ∠PAE = ∠BAC = 60°，又 ∵ BQ⊥PQ，∴ ∠PBQ = 30°。∴ PB = 2PQ = 6。∴ BE = PB + PE = 7。∴ AD = BE = 7。

答案：
(1) 证明：
∵ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠BAC = ∠C = 60°，AB = AC。又
∵ AE = CD，
∴ △ABE ≌ △CAD (SAS)。
∴ ∠ABE = ∠CAD，BE = AD；
(2)
∵ ∠BPQ = ∠BAP + ∠ABE = ∠BAP + ∠PAE = ∠BAC = 60°，又
∵ BQ⊥PQ，
∴ ∠PBQ = 30°。
∴ PB = 2PQ = 6。
∴ BE = PB + PE = 7。
∴ AD = BE = 7。

13. 如图,在$△ABC$中,$AB= AC,∠BAC= 120^{\circ}$,AD是边BC上的中线,且$BD= BE$,CD的垂直平分线MF交AC于点F,交BC于点M,$MF= 2$.
(1) 求$∠ADE$的度数;15°
(2) 求证:$△ADF$是等边三角形;
(3) 求AB的长.8

答案： 解：
(1)
∵ AB = AC，∠BAC = 120°，
∴ ∠B = ∠C = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠BAC) = 30°。
∵ BD = BE，
∴ ∠BDE = ∠BED = $\frac{1}{2}$×(180° - ∠B) = 75°。
∵ AB = AC，AD 是边 BC 上的中线，
∴ AD⊥BC。
∴ ∠ADB = 90°。
∴ ∠ADE = ∠ADB - ∠BDE = 15°；
(2)
∵ MF 垂直平分 CD，
∴ DF = CF。
∵ ∠C = 30°，
∴ ∠FDC = ∠C = 30°。
∴ ∠AFD = ∠C + ∠FDC = 60°。
∵ 由
(1) 知 AD⊥BC，
∴ ∠ADC = 90°。
∴ ∠DAF = 90° - ∠C = 60°。
∴ ∠DAF = ∠AFD = 60°。
∴ △ADF 是等边三角形；
(3)
∵ MF 垂直平分 CD，
∴ ∠FMC = 90°，DF = FC。
∵ ∠C = 30°，MF = 2。
∴ 在 Rt△FMC 中，FC = 2MF = 4。
∴ DF = FC = 4。
∵ △ADF 是等边三角形。
∴ △ADF 是等边三角形。
∴ AF = DF = 4。
∵ AC = AF + CF = 8，
∴ AB = AC = 8。