《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

10. (2024·牡丹江中考)若分式方程$\frac {x}{x-1}= 3-\frac {mx}{1-x}$的解为正整数,则整数m的值为____-1.

答案： -1

11. (2024·重庆中考)若关于x的一元一次不等式组$\left\{\begin{array}{l} \frac {2x+1}{3}≤3,\\ 4x-2＜3x+a\end{array}\right. 的解集为x≤4$,且关于y的分式方程$\frac {a-8}{y+2}-\frac {y}{y+2}= 1$的解均为负整数,则所有满足条件的整数a的值之和是12.

答案： 12

12. 小丁和小迪分别解方程$\frac {x}{x-2}-\frac {x-3}{2-x}= 1$过程如下:
小丁:
解:去分母,得 $x-(x-3)= x-2$
去括号,得 $x-x+3= x-2$
合并同类项,得 $3= x-2$
解得 $x= 5$
∴原方程的解是$x= 5$
小迪:
解:去分母,得 $x+(x-3)= 1$
去括号,得 $x+x-3= 1$
合并同类项,得 $2x-3= 1$
解得 $x= 2$
经检验$x= 2$是方程的增根.原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确? 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解答过程.
×，×
解:小丁和小迪的解法都不正确,正确步骤如下:
$ \frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1 $,两边同乘$ (x - 2) $,去分母得:$ x + x - 3 = x - 2 $,移项,合并同类项得:$ x = 1 $,检验:将$ x = 1 $代入$ (x - 2) $中可得:$ 1 - 2 = -1 \neq 0 $,则$ x = 1 $是分式方程的解,故原分式方程的解是$ x = 1 $.

答案： 解:小丁和小迪的解法都不正确,正确步骤如下:
$ \frac{x}{x - 2} - \frac{x - 3}{2 - x} = 1 $,两边同乘$ (x - 2) $,去分母得:$ x + x - 3 = x - 2 $,移项,合并同类项得:$ x = 1 $,检验:将$ x = 1 $代入$ (x - 2) $中可得:$ 1 - 2 = -1 \neq 0 $,则$ x = 1 $是分式方程的解,故原分式方程的解是$ x = 1 $.

13. 阅读并完成下列问题:
通过观察发现,方程$x+\frac {1}{x}= 2+\frac {1}{2}$的解是$x_{1}= 2,x_{2}= \frac {1}{2}$;方程$x+\frac {1}{x}= 3+\frac {1}{3}$的解是$x_{1}= 3,x_{2}= \frac {1}{3}$;方程$x+\frac {1}{x}= 4+\frac {1}{4}$的解是$x_{1}= 4,x_{2}= \frac {1}{4}$……
(1) 观察上述方程的解,猜想关于x的方程$x+\frac {1}{x}= 5+\frac {1}{5}$的解是$x_{1}=5$，$x_{2}=\frac {1}{5}$;
(2) 根据上面的规律,猜想关于x的方程$x+\frac {1}{x}=$$a+\frac {1}{a}$的解为$x_{1}= a,x_{2}= \frac {1}{a}(a≠0)$;
(3) 利用(2)的结论解方程:
①$x+\frac {1}{x+3}= a-1+\frac {1}{a+2}$; 解为$x_{1}=a-1$，$x_{2}=\frac {-5-3a}{a+2}$
②$x+\frac {1}{4x+6}= \frac {a^{2}-3a+1}{2a}$; 解为$x_{1}=\frac {a-3}{2}$，$x_{2}=\frac {1-3a}{2a}$

答案：
(1) $ x_1 = 5 $, $ x_2 = \frac{1}{5} $
(2) $ a + \frac{1}{a} $
(3) ① $ x_1 = a - 1 $, $ x_2 = \frac{-5 - 3a}{a + 2} $ ② $ x_1 = \frac{a - 3}{2} $, $ x_2 = \frac{1 - 3a}{2a} $