《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

12. 用简便方法计算：
(1) $108×0.625+0.625-9×0.625$；
(2) $5^{2023}-4×5^{2024}+5^{2025}$.

答案：
(1) $ 62.5 $
(2) $ 6×5^{2023} $

13. 已知$(2x - 21)(3x - 7)-(3x - 7)(x - 13)可分解因式为(3x + a)(x + b)$,其中$a$、$b$均为整数,则$a + 3b$的值是多少？

答案： 解：$ ∵(2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13) = (3x - 7)(2x - 21 - x + 13) = (3x - 7)·(x - 8) = (3x + a)(x + b) $，$ ∴a = -7 $，$ b = -8 $。$ ∴a + 3b = -7 + 3×(-8) = -31 $。

14. 阅读理解：把多项式$am + an + bm + bn$分解因式.
解法：$am + an + bm + bn= (am + an)+(bm + bn)= a(m + n)+b(m + n)= (m + n)(a + b)$
观察上述因式分解的过程,解答下列问题：
(1) 分解因式：$mb - 2mc + b^{2}-2bc$；
解：原式$= (mb - 2mc) + (b^{2} - 2bc) = m(b - 2c) + b(b - 2c) =$$(b - 2c)(m + b)$；
(2) $\triangle ABC$三边$a$、$b$、$c$满足$a^{2}-4bc + 4ac - ab = 0$,判断$\triangle ABC$的形状.
解：$∵a^{2} - 4bc + 4ac - ab = 0$，$a^{2} - ab + 4ac - 4bc = 0$，$∴a(a - b) + 4c(a - b) = 0$。$∴(a - b)(a + 4c) = 0$。$∵a + 4c ＞ 0$，$∴a - b = 0$。$∴a = b$。$∴\triangle ABC$的形状是等腰三角形。

答案： 解：
(1) 原式 $ = (mb - 2mc) + (b^{2} - 2bc) = m(b - 2c) + b(b - 2c) = (b - 2c)(m + b) $；
(2) $ ∵a^{2} - 4bc + 4ac - ab = 0 $，$ a^{2} - ab + 4ac - 4bc = 0 $，$ ∴a(a - b) + 4c(a - b) = 0 $。$ ∴(a - b)(a + 4c) = 0 $。$ ∵a + 4c ＞ 0 $，$ ∴a - b = 0 $。$ ∴a = b $。$ ∴△ABC $的形状是等腰三角形。

15. 阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题：
$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}= (1 + x)[1 + x + x(x + 1)]= (1 + x)^{2}(1 + x)= (1 + x)^{3}$.
(1) 上述分解因式的方法是提公因式法,共应用了2次；
(2) 若分解$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+…+x(x + 1)^{2025}$,则需应用上述方法2025次,结果是$(1 + x)^{2026}$；
(3) 分解因式：$1 + x + x(x + 1)+x(x + 1)^{2}+…+x(x + 1)^{n}$($n$为正整数)结果是$(1 + x)^{n + 1}$；
(4) 请利用以上规律计算：$(1 + 2x)^{3}$.
解：$(1 + 2x)^{3} = 1 + 2x + 2x(2x + 1) + 2x(2x + 1)^{2} = 8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1 $。

答案： 解：
(1) 提公因式法 2
(2) $ 2025 $ $ (1 + x)^{2026} $
(3) $ (1 + x)^{n + 1} $
(4) $ (1 + 2x)^{3} = 1 + 2x + 2x(2x + 1) + 2x(2x + 1)^{2} = 8x^{3} + 12x^{2} + 6x + 1 $。