《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

9. 如果实数x、y满足方程组$\left\{\begin{array}{l} x+3y= 0,\\ 2x+3y= 3,\end{array}\right. 那么(\frac {xy}{x+y}+2)÷\frac {1}{x+y}$的值为______1.

答案： 1

10. (1)(2024·南京中考)计算:$(1+\frac {1}{x-1})÷\frac {x}{x^{2}-1};$
(2)(2024·泸州中考)化简:$(\frac {y^{2}}{x}+x-2y)÷\frac {x^{2}-y^{2}}{x}.$

答案： $(1)$计算$(1+\frac {1}{x - 1})÷\frac {x}{x^{2}-1}$
解：
- 步骤一：对括号内式子进行通分
根据分式加法法则$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}$，对$1+\frac{1}{x - 1}$通分，$1=\frac{x - 1}{x - 1}$，则$1+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1}=\frac{x - 1 + 1}{x - 1}=\frac{x}{x - 1}$。
- 步骤二：对$x^{2}-1$进行因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)$。
- 步骤三：将除法运算转化为乘法运算
根据分式除法法则$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}$（$b\neq0$，$c\neq0$，$d\neq0$），则$(1+\frac {1}{x - 1})÷\frac {x}{x^{2}-1}=\frac{x}{x - 1}÷\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}=\frac{x}{x - 1}×\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}$。
- 步骤四：约分计算
分子分母同时约去$x$和$x - 1$，得到$\frac{x}{x - 1}×\frac{(x + 1)(x - 1)}{x}=x + 1$。
$(2)$化简$(\frac {y^{2}}{x}+x - 2y)÷\frac {x^{2}-y^{2}}{x}$
解：
- 步骤一：对括号内式子进行通分
根据分式加法法则$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a + b}{c}$，对$\frac {y^{2}}{x}+x - 2y$通分，$x=\frac{x^2}{x}$，$2y=\frac{2xy}{x}$，则$\frac {y^{2}}{x}+x - 2y=\frac{y^{2}}{x}+\frac{x^2}{x}-\frac{2xy}{x}=\frac{y^{2}+x^{2}-2xy}{x}$。
根据完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab + b^2$，可得$\frac{y^{2}+x^{2}-2xy}{x}=\frac{(x - y)^2}{x}$。
- 步骤二：对$x^{2}-y^{2}$进行因式分解
根据平方差公式$a^2-b^2=(a + b)(a - b)$，可得$x^{2}-y^{2}=(x + y)(x - y)$。
- 步骤三：将除法运算转化为乘法运算
根据分式除法法则$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{a}{b}×\frac{d}{c}$（$b\neq0$，$c\neq0$，$d\neq0$），则$(\frac {y^{2}}{x}+x - 2y)÷\frac {x^{2}-y^{2}}{x}=\frac{(x - y)^2}{x}÷\frac{(x + y)(x - y)}{x}=\frac{(x - y)^2}{x}×\frac{x}{(x + y)(x - y)}$。
- 步骤四：约分计算
分子分母同时约去$x$和$x - y$，得到$\frac{(x - y)^2}{x}×\frac{x}{(x + y)(x - y)}=\frac{x - y}{x + y}$。
综上，$(1)$的结果为$x + 1$；$(2)$的结果为$\frac{x - y}{x + y}$。

11. (2024·遂宁中考)先化简:$(1-\frac {1}{x-1})÷\frac {x-2}{x^{2}-2x+1}$,再从1、2、3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.

答案： 解：$(1 - \frac{1}{x - 1}) \div \frac{x - 2}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x - 1 - 1}{x - 1} \div \frac{x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{x - 2}{x - 1} \times \frac{(x - 1)^2}{x - 2} = x - 1$，$\because x - 1 \neq 0$，$x - 2 \neq 0$，$\therefore x \neq 1$，$x \neq 2$，当 $x = 3$ 时，原式 $= 2$。

12. (2024·甘南州中考)先化简,再求值:$\frac {x^{2}+4x+4}{x^{2}+2x}\cdot \frac {x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}÷(\frac {4}{x-2}+1)$,且整数x满足$-2≤x≤2$(取一个值即可).

答案： 解：原式 $= \frac{(x + 2)^2}{x(x + 2)} \cdot \frac{(x + 2)(x - 2)}{(x - 2)^2} \div \frac{x + 2}{x - 2} = \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{x + 2}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} = \frac{x + 2}{x}$，$\because -2 \leq x \leq 2$，且 $x \neq 0$，$x \neq \pm 2$，$\therefore$ 整数 $x = 1$ 或 $-1$，$\therefore$ 当 $x = 1$ 时，原式 $= \frac{1 + 2}{1} = 3$。(答案不唯一)