《2025年轻松作业本八年级数学上册人教版》

8. 如图,$△ABC$中,点D在BC上,且BD的中垂线与AB相交于点E,CD的中垂线与AC相交于点F,已知$△ABC$的三个内角都不相等,根据图中标示的角,判断下列叙述正确的是 (C)

A. $∠1= ∠3,∠2= ∠4$
B. $∠1= ∠3,∠2≠∠4$
C. $∠1≠∠3,∠2= ∠4$
D. $∠1≠∠3,∠2≠∠4$

答案： C

9. (2024·连云港期末)如图,在$△ABC$中,边AB的垂直平分线EF分别交边BC、AB于点E、F,过点A作$AD⊥BC$于点D,且D为线段CE的中点.
(1) 求证:$BE= AC$;
(2) 若$∠B= 35^{\circ }$,求$∠BAC$的度数.

答案：

(1) 证明：连接$AE$，$\because AD \perp BC$于点$D$，且$D$为线段$CE$的中点，$\therefore AD$垂直平分$CE$。$\therefore AC = AE$。$\because EF$垂直平分$AB$，$\therefore AE = BE$。$\therefore BE = AC$；
(2) 解：$\because AE = BE$，$\angle B = 35^{\circ}$，$\therefore \angle BAE = \angle B = 35^{\circ}$。$\because AD \perp BC$，$\therefore \angle ADB = 90^{\circ}$。$\therefore \angle BAD = 90^{\circ} - 35^{\circ} = 55^{\circ}$。$\therefore \angle EAD = 55^{\circ} - 35^{\circ} = 20^{\circ}$。$\because AC = AE$，$\therefore \angle AED = \angle C$。$\because \angle AED + \angle EAD = \angle C + \angle CAD = 90^{\circ}$，$\therefore \angle CAD = \angle EAD = 20^{\circ}$。$\therefore \angle BAC = \angle BAD + \angle CAD = 55^{\circ} + 20^{\circ} = 75^{\circ}$。

10. 如图,在$△ABC$中,AB、AC的垂直平分线相交于点P.求证:点P也在BC的垂直平分线上.
证明：连接PA、PB、PC。∵MP垂直平分AB，∴PA = PB。同理PA = PC。∴PB = PC。∴点P在BC的垂直平分线上。

答案： 证明：连接$PA$、$PB$、$PC$。$\because MP$垂直平分$AB$，$\therefore PA = PB$。同理$PA = PC$。$\therefore PB = PC$。$\therefore$点$P$在$BC$的垂直平分线上。

11. 【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”,那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢?
【自主研究】
(1) 如图①,直线l是线段AB的垂直平分线,点P在直线l的左侧,经测量,$PA＜PB$,请证明这个结论;
【迁移研究】
(2) 如图②,直线l是线段AB的垂直平分线,点C在直线l外,且与点A在直线l的同侧,点D是直线l上的任意一点,连接AD,BC,CD,试判断BC和$AD+CD$之间的大小关系,并说明理由.

答案：

(1) 证明：如图①，连接$PA$，$PB$，$AM$，$\because$直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，$\therefore AM = BM$。$\therefore PB = PM + MB = PM + AM$。$\because PM + AM ＞ PA$，$\therefore PA ＜ PB$；
(2) 解：如图②，$AD + CD \geq BC$，理由如下：当$D$不在线段$BC$上时，连接$BD$，$\because$直线$l$是线段$AB$的垂直平分线，$\therefore AD = BD$。$\because BD + CD ＞ BC$，$\therefore AD + CD ＞ BC$。当$D$在线段$BC$上时，$AD + CD = BC$，$\therefore AD + CD \geq BC$。