《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

[例1](2024·大连高一检测)已知函数$f(x)=(x - 2)(x + 4)$，
(1)求$f(x)$的单调区间；
(2)求$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值和最小值.

答案： [解析]
(1)由$f(x)=(x - 2)(x + 4)$，函数对称轴为$x=\frac{-4 + 2}{2}=-1$，又因为函数开口向上，故在$(-\infty,-1)$上函数单调递减，在$(-1,+\infty)$上函数单调递增；
(2)因为$x\in[-2,2]$，当$x\in[-2,-1)$时$f(x)$单调递减，当$x\in(-1,2]$时$f(x)$单调递增，所以$f(x)_{\min}=f(-1)=-9$，$f(x)_{\max}=f(2)=0$。

已知$f(x)=3x^{2}-12x + 5$，当$f(x)$的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
(1)$[0,3]$；(2)$[-1,1]$；(3)$[3,+\infty)$.

答案：
[解析]作出$f(x)=3x^{2}-12x + 5$的图象如图所示，
(1)由图可知，函数$f(x)$在$[0,2]$上单调递减，在$[2,3]$上单调递增.且$f(0)=5$，$f(2)=-7$，$f(3)=-4$.故在区间$[0,3]$上，当$x = 2$时，$f(x)_{\min}=-7$；当$x = 0$时，$f(x)_{\max}=5$。
(2)由图可知，$f(x)$在$[-1,1]$上单调递减，所以$f(x)_{\min}=f(1)=-4$，$f(x)_{\max}=f(-1)=20$。
(3)由图可知，$f(x)$在$[3,+\infty)$上单调递增，所以$f(x)_{\min}=f(3)=-4$，无最大值。

[例2]求函数$f(x)=x^{2}-2ax + 2$在$[-1,1]$上的最小值.

答案：
[解析]函数$f(x)$图象的对称轴为直线$x = a$，且函数图象开口向上，如图所示: ①当$a\geqslant1$时，$f(x)$在$[-1,1]$上单调递减，故$f(x)_{\min}=f(1)=3 - 2a$；②当$-1\lt a\lt1$时，$f(x)$在$[-1,1]$上先减后增，故$f(x)_{\min}=f(a)=2 - a^{2}$；③当$a\leqslant - 1$时，$f(x)$在$[-1,1]$上单调递增，故$f(x)_{\min}=f(-1)=3 + 2a$。综上可知，$f(x)$的最小值为$f(x)_{\min}=\begin{cases}3 - 2a,a\geqslant1\\2 - a^{2},-1\lt a\lt1\\3 + 2a,a\leqslant - 1\end{cases}$。