《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【典例】1.（2024·滨州高一检测）已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$，则a + b的最小值为（ ）
A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
2. 若x＞1，求$y = x + \frac{4}{x - 1}$的最小值及对应x的值.
3. 若0 ＜ x ＜ 2，求$y = \frac{4}{x} + \frac{1}{2 - x}$的最小值及对应x的值.

答案： 1. B 因为 $a＞0$，$b＞0$，且 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，则 $a + b=(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})(a + b)=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=4$，当且仅当 $\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即 $a = b = 2$ 时取等号，所以 $a + b$ 的最小值为 4.
2.【解析】因为 $x＞1$，所以 $x - 1＞0$，$\frac{4}{x - 1}＞0$，$y=x - 1+\frac{4}{x - 1}+1\geq2\sqrt{(x - 1)\frac{4}{x - 1}}+1=5$，当且仅当 $x - 1=\frac{4}{x - 1}(x＞1)$，即 $x = 3$ 时等号成立，函数取得最小值 5.
3.【解析】$y=\frac{1}{2}(\frac{4}{x}+\frac{1}{2 - x})\times2=\frac{1}{2}(\frac{4}{x}+\frac{1}{2 - x})\times[x+(2 - x)]=\frac{1}{2}[5+\frac{4(2 - x)}{x}+\frac{x}{2 - x}]\geq\frac{1}{2}(5+2\sqrt{\frac{4(2 - x)}{x}\times\frac{x}{2 - x}})=\frac{9}{2}$，当且仅当 $\frac{4(2 - x)}{x}=\frac{x}{2 - x}(0＜x＜2)$，即 $x=\frac{4}{3}$ 时等号成立，函数取得最小值 $\frac{9}{2}$.

1.(2024·葫芦岛高一检测)设a＞0，b＞0，且2a + b = 2，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$( )
A. 有最小值为$\sqrt{2}$
B. 有最小值为$2\sqrt{2} + 3$
C. 有最小值为$\sqrt{2} + \frac{3}{2}$
D. 无最小值

答案： C 由 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\times(2a + b)\times(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{2}\times(3+\frac{2a}{b}+\frac{b}{a})\geq\frac{1}{2}\times(3 + 2\sqrt{2})=\frac{3}{2}+\sqrt{2}$，当且仅当 $\frac{2a}{b}=\frac{b}{a}$，即 $a = 2-\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{2}-2$ 时等号成立，故当 $a = 2-\sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{2}-2$ 时，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 取得最小值为 $\sqrt{2}+\frac{3}{2}$.

2.(2024·沈阳高一检测)已知正实数x，y满足$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 1$，则2xy - 2x - y的最小值为( )
A. 2
B. 4
C. 8
D. 9

答案： C $2xy-2x - y = 2xy\cdot1-(2x + y)=2xy\cdot(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})-(2x + y)=2y + 4x-2x - y = 2x + y$，而 $(2x + y)\cdot1=(2x + y)(\frac{1}{x}+\frac{2}{y})=4+\frac{4x}{y}+\frac{y}{x}\geq4+2\sqrt{\frac{4x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=8$，当且仅当 $\begin{cases}\frac{4x}{y}=\frac{y}{x}\\\frac{1}{x}+\frac{2}{y}=1\end{cases}$，即 $x = 2$，$y = 4$ 取等号.

3. 已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x + 1} + \frac{8}{y} = 2$，则2x + y的最小值为__________.

答案： 【解析】由 $\frac{1}{x + 1}+\frac{8}{y}=2$，可得 $2x + y = 2(x + 1)+y-2=\frac{1}{2}[2(x + 1)+y](\frac{1}{x + 1}+\frac{8}{y})-2=\frac{1}{2}[10+\frac{16(x + 1)}{y}+\frac{y}{x + 1}]-2\geq\frac{1}{2}[10+2\sqrt{\frac{16(x + 1)}{y}\cdot\frac{y}{x + 1}}]-2=7$，当且仅当 $\frac{16(x + 1)}{y}=\frac{y}{x + 1}$，即 $x=\frac{1}{2}$，$y = 6$ 时，取得最小值 7. 答案:7

【典例】已知a，b，c都是正实数，且ab + bc + ac = 1，则abc的最大值是（ ）
A. $\frac{\sqrt{3}}{9}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. 1
D. $\sqrt{3}$

答案： A 因为 $a,b,c$ 都是正实数，且 $ab + bc + ac = 1$，所以 $\frac{1}{3}=\frac{ab + bc + ac}{3}\geq\sqrt[3]{(abc)^{2}}$，则 $(abc)^{2}\leq(\frac{1}{3})^{3}=\frac{1}{27}$，即 $abc\leq(\frac{1}{3})^{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$，当且仅当 $ab = bc = ac=\frac{1}{3}$，即 $a = b = c=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，等号成立，所以 $abc$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{3}}{9}$.