《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

【例1】(2024·潍坊高一检测)若$x＞0$，$y＞0$，$x + 2y = 5$，则$\frac{1}{xy}$的最小值为 （ ）
A. $\frac{8}{25}$
B. $\frac{8}{5}$
C. $\frac{4}{25}$
D. $\frac{4}{5}$

答案： A 因为 $x＞0,y＞0,x + 2y = 5$，所以 $5 = x + 2y\geqslant2\sqrt{2xy}$，所以 $xy\leqslant\frac{25}{8}$，当且仅当 $x = 2y=\frac{5}{2}$ 时等号成立，所以 $\frac{1}{xy}\geqslant\frac{8}{25}$，即 $\frac{1}{xy}$ 的最小值为 $\frac{8}{25}$。

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(2024·沈阳高一检测)设$a＞1$，$b＞1$且$ab - (a + b) = 1$，那么 （ ）
A. $ab$有最大值$3 + 2\sqrt{2}$
B. $ab$有最小值$1 + \sqrt{2}$
C. $a^{2} + b^{2}$有最大值$6 + 4\sqrt{2}$
D. $a + b$有最小值$2 + 2\sqrt{2}$

答案： D 因为 $a＞1,b＞1$，由 $ab-(a + b)=1$，得 $ab - 1 = a + b\geqslant2\sqrt{ab}$，则 $(\sqrt{ab})^2-2\sqrt{ab}-1\geqslant0$，解得 $\sqrt{ab}\geqslant1+\sqrt{2}$，即 $ab\geqslant3 + 2\sqrt{2}$，当且仅当 $a = b = 1+\sqrt{2}$ 时取等号，因此当 $a = b = 1+\sqrt{2}$ 时，$ab$ 取得最小值 $3 + 2\sqrt{2}$，A、B 错误；显然 $a^2 + b^2\geqslant2ab = 6 + 4\sqrt{2}$，当且仅当 $a = b = 1+\sqrt{2}$ 时取等号，C 错误；$a + b = ab - 1\geqslant2 + 2\sqrt{2}$，当且仅当 $a = b = 1+\sqrt{2}$ 时取等号，D 正确。

【例2】(2024·泰安高一检测)若$x ＞ - 3$，则$2x + \frac{1}{x + 3}$的最小值是 （ ）
A. $2\sqrt{2} + 6$
B. $2\sqrt{2} - 6$
C. $2\sqrt{2}$
D. $2\sqrt{2} + 2$

答案： B 由 $x＞-3$，可得 $x + 3＞0$，$2x+\frac{1}{x + 3}=2(x + 3)+\frac{1}{x + 3}-6\geqslant2\sqrt{2(x + 3)\cdot\frac{1}{x + 3}}-6 = 2\sqrt{2}-6$，当且仅当 $2(x + 3)=\frac{1}{x + 3}$，即 $x=-3+\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等号，所以 $2x+\frac{1}{x + 3}$ 的最小值为 $2\sqrt{2}-6$。

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(多选题)(2024·烟台高一检测)下列说法正确的有 （ ）
A. 当$x ＞ 1$时，$x + \frac{1}{x - 1}$的最小值是 3
B. $\frac{x^{2} + 5}{\sqrt{x^{2} + 4}}$的最小值是 2
C. 当$0 ＜ x ＜ 10$时，$\sqrt{x(10 - x)}$的最大值是 5
D. 若关于$x$的不等式$ax^{2} + bx + c ＞ 0$的解集为$\{x|2 ＜ x ＜ 3\}$，则$a - b + c ＜ 0$

答案： ACD 对于 A，当 $x＞1$ 时，即 $x - 1＞0$，可知 $x+\frac{1}{x - 1}=(x - 1)+\frac{1}{x - 1}+1\geqslant2\sqrt{(x - 1)\cdot\frac{1}{x - 1}}+1 = 3$，当且仅当 $x - 1=\frac{1}{x - 1}$，即 $x = 2$ 时，等号成立，即 A 正确；对于 B，易知 $\frac{x^2 + 5}{\sqrt{x^2 + 4}}=\frac{x^2 + 4 + 1}{\sqrt{x^2 + 4}}=\sqrt{x^2 + 4}+\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}＞2\sqrt{\sqrt{x^2 + 4}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}}=2$，当且仅当 $\sqrt{x^2 + 4}=\frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}$，即 $x^2=-3$ 时等号成立，显然等号不成立，即 B 错误；对于 C，当 $0＜x＜10$ 时，由基本不等式 $\sqrt{x(10 - x)}\leqslant\frac{x+(10 - x)}{2}=5$，当且仅当 $x = 10 - x$ 时，即 $x = 5$ 时，等号成立，即 C 正确；对于 D，由不等式 $ax^2+bx + c＞0$ 的解集为 $\{x|2＜x＜3\}$ 可知 $a＜0$，且方程 $ax^2+bx + c = 0$ 的两根为 2 和 3，所以可得 $\begin{cases}2 + 3=-\frac{b}{a}\\2\times3=\frac{c}{a}\end{cases}$，解得 $b=-5a,c = 6a$；所以 $a - b + c=a + 5a+6a = 12a＜0$，即 D 正确。

【例3】(2024·济南高一检测)若$x ＞ \frac{1}{6}$，$y ＞ 0$，且$x + y = \frac{1}{3}$，则$\frac{1}{6x - 1} + \frac{6}{y}$的最小值是 （ ）
A. 43
B. 49
C. 39
D. 36

答案： B 因为 $x＞\frac{1}{6}$，所以 $6x - 1＞0$，已知 $y＞0$，由 $x + y=\frac{1}{3}$，得 $6x - 1+6y = 1$，则 $\frac{1}{6x - 1}+\frac{6}{y}=(\frac{1}{6x - 1}+\frac{6}{y})(6x - 1+6y)=1+\frac{6y}{6x - 1}+\frac{6(6x - 1)}{y}+36\geqslant37+2\sqrt{\frac{6y}{6x - 1}\cdot\frac{6(6x - 1)}{y}}=49$，当且仅当 $\frac{6y}{6x - 1}=\frac{6(6x - 1)}{y}$，则由 $\begin{cases}6x - 1=y\\6x - 1+6y = 1\end{cases}$，解得 $\begin{cases}x=\frac{4}{21}\\y=\frac{1}{7}\end{cases}$，即当且仅当 $x=\frac{4}{21},y=\frac{1}{7}$ 时，等号成立。所以 $\frac{1}{6x - 1}+\frac{6}{y}$ 的最小值为 49。

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已知$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，$\frac{2}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{6}$，若不等式$2a + b \geqslant 9m$恒成立，则$m$的最大值为 （ ）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 5

答案： C 由题意可得 $6(\frac{2}{a}+\frac{1}{b}) = 1$，所以 $2a + b = 6(\frac{2}{a}+\frac{1}{b})\cdot(2a + b)=6(5+\frac{2a}{b}+\frac{2b}{a})\geqslant6\times(5 + 4)=54$，当且仅当 $\frac{2a}{b}=\frac{2b}{a}$，即 $a = b = 18$ 时等号成立，所以 $9m\leqslant54$，即 $m\leqslant6$。