《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

3. 已知不等式$ax^{2} - 3x + 2 ＞ 0$的解集为$\{x|x ＜ 1或x ＞ b\}$.
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式$cx^{2} - (ac + b)x + ab ＞ 0$（其中c为实数）.

答案： 3.[解析]
(1)不等式ax²−3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b)，
　所以1和b是方程ax²−3x+2=0的解，
　所以a−3+2=0,解得a=1;
　由根与系数的关系知1×b=$\frac{2}{a}$,解得b=2;
　所以a=1,b=2;
(2)由
(1)知,不等式cx²−(ac+b)x+ab＞0为cx²−(c+2)x+2＞0,即(x−1)(cx−2)＞0,
　当c=0时,不等式化为−2(x−1)＞0,解得r＜1;
　当c＜0时，解不等式得$\frac{2}{c}$＜x＜1;
　当c＞0时，若$\frac{2}{c}$＞1,即0＜c＜2时，解不等式得x＜1或x＞$\frac{2}{c}$，若$\frac{2}{C}$
　=1,即c=2时，解不等式得x≠1,若$\frac{2}{c}$＜1,即c＞2,解不等式得r＜$\frac{2}{c}$或x＞1.
　综上所述，当c=0时，不等式的解集为{x｜x＜1);
　当c＜0时，不等式的解集为{x|$\frac{2}{C}$＜＜1|.
　当0＜c＜2时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞$\frac{2}{c}$
　当c=2时，不等式的解集为{x｜x≠1)，
　当c＞2时，不等式的解集为{x|x＜$\frac{2}{c}$或x＞1|.

即学即练
1. （2024·枣庄高一检测）已知命题“$\exists x \in R$，使$(m - 2)x^{2} + (m - 2)x + 1 \leq 0$”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A. $(6, +\infty)$
B. $(2,6)$
C. $[2,6)$
D. $(-\infty,2]$

答案： [即学即练]
1.C　由题意可知Vx∈R,(m−2)x²+(m−2)x+1＞0恒成立.
　①当m−2=0时,1＞0恒成立;
　②当m−2≠0时，{(m)−4(m−2))＜0,解得2＜m＜6.
　综上,m的取值范围为[2,6).

2. （2024·泰安高一检测）已知函数$f(x) = ax^{2} - (a^{2} + 1)x + a$，$a \in R$.
（1）若$f(x) ＞ 0$的解集为$(-2,-\frac{1}{2})$，求a的值；
（2）若$a ＞ 0$，求不等式$f(x) \leq 0$的解集.

答案： 2.[解析]
(1)因为J((x)＞0的解集为(−²2,−$\frac{1}{2}${,
　所以方程ax²−(a²+1)x+α=0的两根为−2和一$\frac{1}{2}$,且a＜0.
　　　−2+(−−$\frac{1}{2}$)=$\frac{a²+1}{a}$
　所以　　　　　　　　　　　　,解得α=−2或a=−$\frac{1}{2}$.
　　　−2×(−$\frac{1}{2}${=1
　　　{
(2))因为α＞0,所以不等式f(x)≤0,即α(z−$\frac{1}{a}${(x−a)≤0,
　当0＜α＜1时，$\frac{1}{a}$＞a,解得a≤r≤$\frac{1}{a}$,即不等式的解集为[α,$\frac{1}{a}$]当α＞1时，$\frac{1}{a}$＜a,解得$\frac{1}{a}$≤r≤a,即不等式的解集为[$\frac{1}{a}$,a;
　当a=1时，原不等式即(x−1)²≤0,解得x=1,即不等式的解集为{1).综上;当0＜α＜1时,不等式的解集为[α,$\frac{1}{a}$;
　当α＞1时,不等式的解集为[$\frac{1}{a}$,a]
　当α=1时，不等式的解集为
(1).

【典例】1. （2024·日照高一检测）已知$0 ＜ x ＜ \frac{3}{2}$.则$y = \frac{1}{x} + \frac{2}{3 - 2x}$的最小值为（ ）
A. $\frac{4}{3}$
B. 2
C. $\frac{8}{3}$
D. 4

答案： [典例]1.C　因为0＜x＜$\frac{3}{2}$,所以0＜3−2x＜3,
则y=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{3−2x}$=$\frac{2}{2x}$+$\frac{2}{3−2x}$=$\frac{1}{3}$[2x+(3−2x)]($\frac{2}{2x}$+$\frac{2}{3−−2x}$
　=$\frac{1}{3}$[4+$\frac{2(3−2x)}{2x}$+$\frac{4.x}{3−2x}$≥$\frac{1}{3}$[4+2　　$\frac{2(3−2x)}{2x}$.$\frac{4.x}{3−2x}$　
　$\frac{8}{3}$，当且仅当$\frac{2(3−2.x)}{2x}$"$\frac{4.x}{3−2x}$,即x=$\frac{3}{4}$时取等号.