《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

一、命题

答案： 一 真假判断

下列语句是命题吗？比较(1)和(3)，(2)和(4)，它们之间有什么关系？
(1)2x + 1 = 3；
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x∈R，使2x + 1 = 3；
(4)至少有一个x∈Z，x能被2和3整除.

答案： 提示：
(1)
(2)不是命题. 语句
(3)在
(1)的基础上，用短语“存在一个”对变量$x$的取值情况进行限定；语句
(4)在
(2)的基础上，用“至少有一个”对变量$x$的取值情况进行限定，从而使
(3)
(4)变成了可以判断真假的陈述句，因此
(3)
(4)是命题.

二、全称量词和全称量词命题

答案： 每一个 全称量词 “∀x∈M,r(x)”

三、存在量词和存在量词命题

答案： 至少有一个  存在量词   “∃x∈M,s(x)”

全称量词命题与存在量词命题有什么区别？

答案： 提示：
(1)全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质，无一例外，强调“整体、全部”.
(2)存在量词命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外，强调“个别、部分”.

(1)“向雷锋同志学习！”是命题. （×）
(2)“有些三角形中三个内角相等”是存在量词命题. （√）
(3)“∀x∈R，x² + 1≥1”是真命题. （√）
(4)存在量词命题“∃x∈R，x²＜0”是真命题. （×）

答案：
(1)× 提示：是感叹句，不是命题.
(2)√ 提示：含有存在量词“有些”.
(3)√ 提示：$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}\geq0$，故$x^{2}+1\geq1$.
(4)× 提示：不存在$x,x^{2}＜0$.