《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

[典例]1. 已知集合$U = \{x\in\mathbf{N}|0\lt x\lt8\},A = \{1,2,3\},B = \{3,4,5,6\}$，则下列结论错误的是（ ）
A. $A\cap B = \{3\}$
B. $A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$
C. $\complement_U A = \{4,5,6,7,8\}$
D. $\complement_U B = \{1,2,7\}$

答案： C 因为集合$U = \{x\in N|0\lt x\lt8\} = \{1,2,3,4,5,6,7\}$，$A = \{1,2,3\}$，$B = \{3,4,5,6\}$，所以$A\cap B = \{3\}$，$A\cup B = \{1,2,3,4,5,6\}$，$\complement_{U}A = \{4,5,6,7\}$，$\complement_{U}B = \{1,2,7\}$.

2.（2024·沈阳高一检测）已知集合$A = \{x|-7\leq2x - 3\leq3\},B = \{x|3m - 2\lt x\lt m + 1\}$，若$B\subseteq A$，则实数$m$的取值范围是（ ）
A. $\{m|m\geq\frac{3}{2}\}$
B. $\{m|m\gt\frac{3}{2}\}$
C. $\{m|m\geq0\}$
D. $\{m|m\gt0\}$

答案： C $A = \{x|-7\leqslant2x - 3\leqslant3\} = \{x|-2\leqslant x\leqslant3\}$.
若$B = \varnothing$，则$3m - 2\geqslant m + 1$，解得$m\geqslant\frac{3}{2}$，符合题意；
若$B\neq\varnothing$，则$\begin{cases}3m - 2\lt m + 1\\-2\leqslant3m - 2\\m + 1\leqslant3\end{cases}$，解得$0\leqslant m\lt\frac{3}{2}$.
综上，实数$m$的取值范围是$\{m|m\geqslant0\}$.

3. 集合$A = \{x|3\leq x\lt7\},B = \{x\in\mathbf{Z}|2\lt x\lt10\},C = \{x|x\lt t$或$x\gt t + 1\}$.
（1）求$(\complement_{\mathbf{R}}A)\cap B$；
（2）若$A\cup C = \mathbf{R}$，求实数$t$的取值范围.

答案： 【解析】
(1)由题设，$\complement_{R}A = \{x|x\lt3或x\geqslant7\}$，$B = \{x\in Z|2\lt x\lt10\} = \{3,4,5,6,7,8,9\}$，所以$(\complement_{R}A)\cap B = \{7,8,9\}$.
(2)由$A\cup C = R$，$C = \{x|x\lt t或x\gt t + 1\}$，
所以$\begin{cases}t\geqslant3\\t + 1\lt7\end{cases}$，解得$3\leqslant t\lt6$.
所以实数$t$的取值范围为$[3,6)$.

[典例]1.（2024·青岛高一检测）设$a\in\mathbf{R}$，则“$a\gt9$”是“$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{9}$”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件

答案： A 当$a\gt9$时，必有$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{9}$，
当$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{9}$时，不妨取$a = -1$，满足$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{9}$，但推不出$a\gt9$，
故“$a\gt9$”是“$\frac{1}{a}\lt\frac{1}{9}$”的充分不必要条件.