《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

[例1]已知有限集$A = \{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}(n\geqslant2,n\in\mathbf{N}^{*})$，如果$A$中的元素$a_{i}(i = 1,2,3,\cdots,n)$满足$a_{1}\cdot a_{2}\cdot\cdots\cdot a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots + a_{n}$，就称$A$为“复活集”，给出下列结论：
①集合$\left\{\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2},\dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2}\right\}$是“复活集”；
②若$a_{1},a_{2}\in\mathbf{R}$，且$\{ a_{1},a_{2}\}$是“复活集”，则$a_{1}a_{2}＞4$；
③若$a_{1},a_{2}\in\mathbf{N}^{*}$，则$\{ a_{1},a_{2}\}$不可能是“复活集”.
其中所有正确结论的序号有________.

答案： ①③

若$x\in A$，且$\dfrac{1}{x}\in A$，则称$A$为“影子关系”集合. 在集合$M = \left\{0,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{2},1,2,3,4\right\}$的所有非空子集 中，为“影子关系”集合的有（ ）
A. 3个 B. 4个 C. 7个 D. 8个

答案： C 由“影子关系”集合定义可知，集合$M = \{0,\frac{1}{3},\frac{1}{2},1,2,3,4\}$中为影子关系的集合有$M_1 = \{1\},M_2 = \{\frac{1}{2},2\},M_3 = \{\frac{1}{3},3\},M_4 = \{1,\frac{1}{2},2\},M_5 = \{1,\frac{1}{3},3\},M_6 = \{2,\frac{1}{2},\frac{1}{3},3\},M_7 = \{1,2,\frac{1}{2},\frac{1}{3},3\}$.

[例2](多选题)(2024·潍坊高一检测)非空集合$A$具有下列性质：①若$x,y\in A$，则$\dfrac{x}{y}\in A$；②若$x,y\in A$，则$x + y\in A$. 下列选项正确的是（ ）
A. $-1\notin A$
B. $\dfrac{2020}{2021}\notin A$
C. 若$x,y\in A$，则$xy\in A$
D. 若$x,y\in A$，则$x - y\notin A$

答案： AC 对于A，若$-1\in A$，则$\frac{-1}{-1} = 1\in A$，此时$-1 + 1 = 0\in A$，而当$x = -1\in A,y = 0\in A$时，$\frac{-1}{0}$显然无意义，不满足$\frac{x}{y}\in A$，所以$-1\notin A$，故A正确；
对于B，若$x\neq 0$且$x\in A$，则$1 = \frac{x}{x}\in A$，所以$2 = 1 + 1\in A,3 = 2 + 1\in A$，以此类推，得对任意的$n\in N^*$，有$n\in A$，所以$2020\in A,2021\in A$，所以$\frac{2020}{2021}\in A$，故B错误；
对于C，若$x,y\in A$，则$x\neq 0$且$y\neq 0$，又$1\in A$，所以$\frac{1}{y}\in A$，所以$xy = \frac{x}{\frac{1}{y}}\in A$，故C正确；
对于D，取$x = 2,y = 1$，则$x - y = 1\in A$，故D错误.

若数集$A = \{ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\}(1\leqslant a_{1}＜a_{2}＜\cdots ＜a_{n},n\geqslant2)$具有性质$P$：对任意的$i,j(1\leqslant i\leqslant j\leqslant n)$，$a_{i}a_{j}$与$\dfrac{a_{j}}{a_{i}}$两数中至少有一个属于$A$，则称集合$A$为“权集”. 则（ ）
A. $\{1,3,4\}$为“权集”
B. $\{1,2,3,6\}$为“权集”
C. “权集”中元素可以有$0$
D. “权集”中一定有元素$1$

答案： B 由于$3\times 4$与$\frac{4}{3}$均不属于数集$\{1,3,4\}$，故A错误；由于$1\times 2,1\times 3,1\times 6,2\times 3,\frac{6}{2},\frac{6}{3},\frac{1}{1},\frac{2}{2},\frac{3}{3},\frac{6}{6}$都属于数集$\{1,2,3,6\}$，故B正确；由“权集”的定义可知$\frac{a_j}{a_i}$需有意义，故不能有0，同时不一定有1，C，D错误.

[例3]已知有限集$X,Y$，定义集合$X - Y = \{ x|x\in X,且x\notin Y\}$，$|X|$表示集合$X$中的元素个数. 若$X = \{1,2,3,4\}$，$Y = \{3,4,5\}$，则$|(X - Y)\cup(Y - X)|=$（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

答案： A 因为$X = \{1,2,3,4\},Y = \{3,4,5\}$，
所以$X - Y = \{1,2\},Y - X = \{5\}$，故$(X - Y)\cup(Y - X) = \{1,2,5\}$，
故$|(X - Y)\cup(Y - X)| = 3$.

定义集合运算$A\lozenge B = \{ c|c = a + b,a\in A,b\in B\}$，若$A = \{0,1,2\}$，$B = \{3,4,5\}$，则集合$A\lozenge B$的子集个数为（ ）
A. 32 B. 16 C. 64 D. 31

答案： A 因为$A = \{0,1,2\},B = \{3,4,5\}$，且$A\lozenge B = \{c|c = a + b,a\in A,b\in B\}$，所以$A\lozenge B = \{3,4,5,6,7\}$.
因为集合$A\lozenge B$中共有5个元素，所以集合$A\lozenge B$的所有子集的个数为$2^5 = 32$.