《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

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(多选题)(2024·青岛高一检测)下列条件中,-2＜x＜2的必要不充分条件是 （ ）
A.-2≤x≤2
B.-2＜x＜3
C.0＜x≤2
D.1＜x＜3

答案： AB　对于选项A,由−2≤x≤2不能推出−2＜x＜2,由−2＜x＜2可以推出−2≤x≤2,所以−2≤x≤2是−2＜x＜2的必要不充分条件.对于选项B,由−2＜x＜3不能推出−2＜x＜2,由−2＜r＜2可以推出−2＜x＜3,所以−2＜x＜3是−2＜x＜2的必要不充分条件.
　对于选项C,由0＜x≤2不能推出−2＜x＜2,由−2＜x＜2也不能推出0＜x≤2,所以0＜x≤2是−2＜x＜2的既不充分也不必要条件.
　对于选项D,由1＜x＜3不能推出−2＜x＜2,由−2＜x＜2也不能推出1＜r＜3,所以1＜r＜3是−2＜x＜2的既不充分也不必要条件.

类型三 充要条件的判断（逻辑推理）
【典例】1.(多选题)(2024·威海高一检测)已知关于x的方程x² + (m - 3)x + m = 0,则下列说法正确的是 （ ）
A.当m = 3时,方程的两个实数根之和为0
B.方程无实数根的一个必要条件是m＞1
C.方程有两个正根的充要条件是0＜m＜1
D.方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0
2.指出下列各组命题中,p是q的什么条件(“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”).
①p:x = 1,q:|x| = 1;
②p:-1≤x≤5,q:x≥-1且x≤5;
③p:x + 2≠y,q:(x + 2)²≠y²;
④p:a是自然数;q:a是正数.

答案： 1.BD　对于选项A,方程为x²+3=0,方程没有实数根，所以选项
A错误;
　对于选项B,如果方程没有实数根，则△=(m−3)²−4m=m²−10m+9 ＜0,所以1＜m＜9,m＞1是1＜m＜9的必要条件，所以选项B正确;对于选项C，如果方程有两个正根，
　　　=m²−10m+9≥0
　则{−(m−3)＞0　　　,所以0＜m≤1,所以方程有两个正根的充要条m＞0
　件是0＜m≤1,所以选项C错误;
　对于选项D,如果方程有一个正根和一个负根，则m＜0，所以方程有一个正根和一个负根的充要条件是m＜0,所以选项D正确.
2.[解析]①当x=1时，|x|=1成立;
　当|x|=1时,x=1或x=−1.
　所以p是q的充分不必要条件.
　②因为−1≤r≤5=x≥−1且x≤5,所以p是q的充要条件.
　③由q:(x+2)²≠y²,得x+2≠y,且x+2≠−y,又p:x+2≠y,故p是q的必要不充分条件.
　④0是自然数，但0不是正数，故p≠q;又$\frac{1}{2}$是正数，但$\frac{1}{2}$不是自然数,故q≠p.故p是q的既不充分也不必要条件.

1.(2023·济南高一检测)“b = 0”是“二次函数y = ax² + bx + c(a≠0)的图象关于y轴对称”的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件

答案： A　b=0→二次函数y=ax²+bx十c=ax²+c(a≠0)的图象关于y轴对称，二次函数y=a.x²+bx十c(a≠0)的图象关于y轴对称，对称轴为x =−$\frac{6}{2a}$=0→b=0,
　所以b=0=二次函数y=ax²+bx+c(α≠0)的图象关于y轴对称，
　所以“b=0"是“二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象关于y轴对称”的充要条件.

2.已知a,b均为实数,则“a² = b²”是“a² + ab = 2b²”的 ( )
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： D　因为α²=b²,所以α=±b,
　由a²+ab=2b²,得(a−b)(α+2b)=0,得a=b或a=−2b，
　所以“a²=b²”是“a²+ab=2b2”的既不充分也不必要条件.