《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

＞版本交融（北师P64练习T1(2)）
若存在$x_1,x_2\in(a,b)$，使得$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}＞0$成立，能否判断函数$f(x)$在区间$(a,b)$上单调递增？

答案： 提示:能. 理由如下:
因为$\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1 - x_2}＞0$，所以$(x_1 - x_2)$与$(f(x_1)-f(x_2))$同号，即$x_1＜x_2$时，$f(x_1)＜f(x_2)$，所以函数$f(x)$在区间$(a,b)$上单调递增.

＞教材挖掘（P101想一想）
能否说$y = \frac{1}{x}$在定义域内是减函数？为什么？

答案： 提示:不能. 取$x_1\in(-\infty,0)$，$x_2\in(0,+\infty)$，则$x_1＜x_2$，但$\frac{1}{x_1}＜\frac{1}{x_2}$，不满足减函数的定义.

明辨是非（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）函数$f(x)=2x^2$，若$f(-1)＜f(2)$，则函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是增函数。（ ）
（2）若$f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数，则$f(0)＞f(1)$。（ ）
（3）若$f(x)$在$[1,2]$和$(2,3]$上均单调递增，则$f(x)$在$[1,3]$上单调递增。（ ）

答案：
(1)×　提示:根据单调递增函数定义,对于$-\infty＜x_1＜x_2＜+\infty$，总有$f(x_1)＜f(x_2)$，函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上是单调递增函数，而只有$f(-1)＜f(2)$不能判断函数$f(x)$在$\mathbf{R}$上的单调性，故错误.
(2)√　提示:若$f(x)$在$\mathbf{R}$上是减函数，因为$0＜1$，所以$f(0)＞f(1)$，故正确.
(3)×　提示:如函数$f(x)=\begin{cases}x + 2,1\leqslant x\leqslant2\\x - 2,2＜x\leqslant3\end{cases}$，在$[1,2]$和$(2,3]$上均单调递增，
但$f(x)$在$[1,3]$上不具备单调性，故错误.