《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

常见的数集及表示符号

答案： $\mathbf{N}$ $\mathbf{N}^*$ 或 $\mathbf{N}_+$

（1）无限循环小数1.6·可以表示成分数吗？
（2）任何一个无限循环小数都是Q中的元素，这种说法正确吗？

答案： 提示：
(1)可以. 设 $x = 1.\dot{6}$，则 $10x = 16.\dot{6}$，两式相减得 $9x = 15$，$x=\frac{5}{3}$，所以 $1.\dot{6}=\frac{5}{3}$.
@@提示：
(2)正确. 无限循环小数都可以用分数来表示，分数是有理数.

1. 列举法：把集合中的元素__________出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内。

答案： 一 一列举

2. 描述法：
（1）特征性质：一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质__________，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质。
（2）描述法：

答案：
(1)$p(x)$ 
@@ 
(2)符号 取值范围 竖线 特征性质 

3. 区间及其表示：
（1）一般区间的表示：
设a，b∈R，且a ＜ b，规定如下：
    

答案： 3.
(1)[a,b] (a,b)[a,b)(a,b]

用列举法能表示不等式x - 7 ＜ 3的解集吗？为什么？

答案： 提示：不能. 由不等式 $x - 7 ＜ 3$，得 $x ＜ 10$，由于比 10 小的数有无数个，用列举法是列举不完的，所以不能用列举法表示.

明辨是非
（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）在一个集合中可以找到两个相同的元素。（ ）
（2）好听的歌能组成一个集合。（ ）
（3）奥运会中所有的比赛项目构成一个集合。（ ）
（4）把1，2，3三个数排列，共有6种情况，因此由这三个数组成的集合有6个。（ ）

答案：
(1)× 提示：集合中的元素是互不相同的.
(2)× 提示：好听的歌是不确定的，所以好听的歌不能组成一个集合.
(3)√ 提示：奥运会中所有的比赛项目是确定的，所以能构成一个集合.
(4)× 提示：因为集合中的元素满足无序性，故由 1，2，3 三个元素只能组成一个集合.

【典例】1. （多选题）下列每组对象能构成一个集合的是 （ ）
A. 不超过20的非负整数
B. 方程x² - 8 = 0在实数范围内的解
C. 某校2023年在校的所有高个子同学
D. $\sqrt{3}$的近似值的全体

答案： @@1. AB 对于 A 项，不超过 20 的非负整数是确定的，所以能构成一个集合；
对于 B 项，方程的解是 $x = \pm2\sqrt{2}$，能构成集合；
对于 C 项，“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合；
对于 D 项，“$\sqrt{3}$ 的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数是不是它的近似值，所以不能构成一个集合.

2. （2024·潍坊高一检测）由实数x，-x，|x|，$\sqrt{x²}$，-所组成的集合最多有 （ ）
A. 3个元素
B. 2个元素
C. 4个元素
D. 5个元素

答案： 2. B 当 $x = 0$ 时，$x=-x = |x|=\sqrt{x^2}=-\sqrt[5]{x^5}=0$，集合中只有 1 个元素 0；
当 $x＞0$ 时，$|x| = x$，$\sqrt{x^2}=x$，$-\sqrt[5]{x^5}=-x$，集合中只有 2 个元素 $x$ 和 $-x$；
当 $x＜0$ 时，$|x|=-x$，$\sqrt{x^2}=-x$，$-\sqrt[5]{x^5}=-x$，集合中只有 2 个元素 $x$ 和 $-x$；
所以实数 $x$，$-x$，$|x|$，$\sqrt{x^2}$，$-\sqrt[5]{x^5}$ 所组成的集合最多有 2 个元素.