《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

类型二 利用单调性求函数最值(数学运算)
典例呈现
(一题多解)函数$y = 2x+\sqrt{x - 1}$的最小值为________.

答案： 方法一(单调性法):显然函数$y = 2x+\sqrt{x - 1}$的定义域为$[1,+\infty)$.因为函数$y = 2x$与$y = \sqrt{x - 1}$在$[1,+\infty)$上都单调递增，故$y = 2x+\sqrt{x - 1}$在$[1,+\infty)$上单调递增，所以当$x = 1$时，$y_{\min}=2+\sqrt{1 - 1}=2$，即函数的最小值为2.
　方法二(换元法):令$\sqrt{x - 1}=t$，则$t\geq0$，$x = t^2 + 1$，所以$y = 2t^2 + t + 2=2(t+\frac{1}{4})^2+\frac{15}{8}$，且$y$在$[0,+\infty)$上是增函数，故当$t = 0$时，$y_{\min}=2$，即函数的最小值为2.
　答案:2

即学即练
函数$f(x)=\sqrt{6 - x}-3x$在区间$[2,4]$上的最大值为________；最小值为________.

答案： [解析]易知函数$y = \sqrt{6 - x}$在区间$[2,4]$上单调递减，$y = - 3x$在区间$[2,4]$上也是单调递减，所以函数$f(x)=\sqrt{6 - x}-3x$在该区间上单调递减，所以$f(x)_{\max}=f(2)=\sqrt{6 - 2}-3\times2=-4$，$f(x)_{\min}=f(4)=\sqrt{6 - 4}-3\times4=\sqrt{2}-12$.
　答案:$-4$ $\sqrt{2}-12$

类型三 函数的平均变化率(逻辑推理)
【典例】(教材P104例3改编)判断函数$y = f(x)=\frac{1}{x - 1}$在$(1,+\infty)$上的单调性.

答案： 设$x_1,x_2\in(1,+\infty)$且$x_1\neq x_2$，
　则$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac{1}{x_2 - 1}-\frac{1}{x_1 - 1}}{x_2 - x_1}=\frac{-1}{(x_2 - 1)(x_1 - 1)}$.
　易知$x_2 - 1＞0$，$x_1 - 1＞0$，所以$\frac{\Delta y}{\Delta x}＜0$，
　所以函数$y = f(x)=\frac{1}{x - 1}$在$(1,+\infty)$上单调递减.

即学即练
已知函数$f(x)=\frac{x + 1}{x - 2}$，$x\in[3,7]$.
(1)判断函数$f(x)$的单调性，并用平均变化率加以证明.
(2)求函数$f(x)$的最大值和最小值.

答案： [解析]
(1)函数$f(x)$在区间$[3,7]$内单调递减，
　证明如下:
　在$[3,7]$上任意取两个数$x_1$和$x_2$，且$x_1\neq x_2$，
　因为$f(x_1)=\frac{x_1 + 1}{x_1 - 2}$，$f(x_2)=\frac{x_2 + 1}{x_2 - 2}$，
　所以$f(x_2)-f(x_1)=\frac{x_2 + 1}{x_2 - 2}-\frac{x_1 + 1}{x_1 - 2}=\frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}$.
　所以$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}=\frac{\frac{3(x_1 - x_2)}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}}{x_2 - x_1}=-\frac{3}{(x_1 - 2)(x_2 - 2)}$，
　因为$x_1,x_2\in[3,7]$，所以$x_1 - 2＞0$，$x_2 - 2＞0$，
　所以$\frac{\Delta f(x)}{\Delta x}＜0$，函数$f(x)$在$[3,7]$上单调递减.
(2)由单调函数的定义可得$f(x)_{\max}=f(3)=4$，$f(x)_{\min}=f(7)=\frac{8}{5}$.