《2024年世纪金榜高中全程学习方略高中数学必修第一册人教版》

3.写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
①p：有些实数的绝对值是正数.
②q：某些平行四边形是菱形.
③r：∃x∈R，x² + 1＜0.
④s：∃x，y∈Z，使得√2x + y = 3.

答案： 【解析】
①¬p：“所有实数的绝对值都不是正数”，由 p 是真命题可知¬p 是假命题.
②¬q：“每一个平行四边形都不是菱形”. 由 q 是真命题可知¬q 是假命题.
③¬r：“∀x∈R,x² + 1≥0”. 因为∀x∈R,x²≥0，所以 x² + 1≥0，所以¬r 是真命题.
④¬s：“∀x,y∈Z,\sqrt{2}x + y≠3”，由 s 是真命题可知¬s 是假命题.

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（多选题）(2024·阜新高一检测)已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则下列说法错误的是 （ ）
A.p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°
B.p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°
C.p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°
D.p为假命题.且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°

答案： BCD 平面五边形的内角和为(5 - 2)×180° = 540°，
因此命题 p 是真命题，CD 错误，符合题意；
又命题 p 是存在量词命题，其否定为全称量词命题，
因此 p 的否定是：所有平面多边形的内角和都不是 540°，B 错误，符合题意，A 正确，不符合题意.

典例呈现
已知命题p：“∃x∈R，x² - 2x + m≤0”是假命题，求实数m的取值范围.
【思路引领】
思路一 思路二
p与¬p之间的关系 不等式恒成立问题
抛物线与x轴的交点问题 分离参数
判别式Δ的应用 二次函数的最值

答案： 方法一 ¬p：∀x∈R,x² - 2x + m＞0，是真命题，
设函数 y = x² - 2x + m，由二次函数的图象和性质知，
只需方程 x² - 2x + m = 0 的根的判别式 Δ＜0，即 4 - 4m＜0，得 m＞1，
即实数 m 的取值范围是(1,+∞).
方法二 ¬p：∀x∈R,x² - 2x + m＞0，是真命题，
即 m＞ - x² + 2x = - (x - 1)² + 1,x∈R 恒成立.
设函数 y = - (x - 1)² + 1，由二次函数的性质知，
当 x = 1 时，y_{最大值}=1，所以 m＞y_{最大值}=1，
即实数 m 的取值范围是(1,+∞).